In this post we compute the Fourier transform of $\sin{x}/x$ and $(\sin{x}/x)^2$ through contour integration.

问题的引入: 最大值、最小值的局限性

我们先考虑一个简单的函数:

$$f(x)=x\quad x\in(0,1)$$

那么问题来了: 这个函数有没有最小值或者最大值? 答案是没有. 定义域中的严格不等式给我们制造了无法得到严格解的麻烦. 可能读者会想到, 这是个单调函数, 可以使用极限解决这个问题. 但是这样做局限性太大了. 如果我们连函数的表达式都不知道, 又要到哪个极限找“最值”呢? 我们要做的是, 找到一个数, 它描述集合的范围时, 不依赖于最大值最小值的存在, 而且它不依赖于极限.

理论基础: 实数是有序的

我们一直以来接触各种不等式, 最基本的理论依据就是, 实数的顺序. 这个顺序的意思就是大小关系. 没有顺序关系的数也是有的, 例如复数. 实数的顺序其实可以叙述成以下两点:

1. 如果$x\in\mathbb{R}$而且$y\in\mathbb{R}$, 那么下面三个关系有且仅有一个成立 $$x<y\quad x=y\quad y<x$$
2. 如果$x,y,z\in\mathbb{R}$, 而且有$x<y$和$y<z$, 那么$x<z$

至于“$\leq$”，应该理解成小于或等于, “或”的意思在这里是并没有强调哪个一定成立.

确界的定义

我们接下来只讨论上界. 也就是说, 我们只讨论小于的情况. 至于另一侧, 将小于号换成大于号即可.

什么叫有上界

取集合$E\subset\mathbb{R}$, 如果存在$\beta\in\mathbb{R}$使得对任意$x\in{E}$都满足不等式$x\leq\beta$, 那么就称$E$有上界, $\beta$就是$E$的一个上界.

这其实就是一个存在命题. 只要满足就够了. 满足之后呢? 没有然后了. 剩下的细节在这里不重要. 这和极限很类似. 一个很简单的例子: $(-\infty,1]$就是有上界的. 而且任意的上界$\beta$都满足$\beta\in[1,+\infty)$.

上确界: 最小的上界

有的时候, 我们需要知道一个严格最小的上界, 这就是上确界. 首先, 我们给出上确界的定义.

对于有上界的集合$E$, 假设存在一个$\alpha\in\mathbb{R}$满足以下条件, 那么就称它为$E$的上确界, 记作$\alpha=\sup{E}$:

• $\alpha$是$E$的一个上界

• 如果$\gamma<\alpha$, 那么$\gamma$不是$E$的上界

下确界可以通过相反的不等式进行确定, 记作$\alpha=\inf{E}$. 当然$\sup$和$\inf$后面也不一定要跟一个集合, 也可以跟一个函数或者数列. 回到开头的那个函数, 我们能很容易得到

$$\sup{f(x)}=1\quad\inf{f(x)}=0$$

这时我们不再依赖于极限, 也可以发现, 如果函数的最大值或最小值存在, 那么它一定等于上确界或下确界, 但是上下确界存在时, 最值不一定存在. 在函数最值不存在时, 我们仍然能利用确界对函数的范围进行严格的分析, 而且不一定需要求极限, 这体现了上下确界的价值所在. 在这里建议读者写几个函数, 再试着求以下上下确界.

确界的极限形式(上极限、下极限)

数列形式

设$\{a_n\}$是$\mathbb{R}$里的一个数列, 并且定义

$$b_k=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\cdots\}$$

再定义

$$\beta=\inf\{b_1,b_2,b_3,\cdots\}$$

那么就有

$$\beta=\limsup_{n\to\infty}a_n$$

这就完成了上极限的定义. 而下极限的求法就是将上面的上确界、下确界交换顺序即可. 可是这里为什么出现了极限符号? 这是因为

$$b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\geq\beta$$

所以有

$$\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\beta$$

此外,$\{a_n\}$中有一个子列$\{a_{n_i}\}$收敛于$\beta$, 而且$\beta$是具有这个性质最大的数.

这其实还是解决了一件事情, 如果一个数列发散, 我们还是有可能利用上下确界的极限形式来研究极限的一些性质. 一个很简单的例子比如

$$\limsup_{n\to\infty}{(-1)^n}=1\quad\liminf_{n\to\infty}{(-1)^n}=-1$$

函数形式

函数中上下极限的求法其实和数列形式是非常类似的. 我们先举一个上极限的例子, 理解构建过程时也可以利用这个例子:

$$\limsup_{x\to{0}}\sin\frac{1}{x}=1$$

对于函数, 值域可能是连续集合. 求$x\to{a}$时的上极限, 我们先求出$x\to{a}$时, $f(x)$的上确界构成的集合

$$U=\{y|y=\sup\{f(x)|x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\}\}$$

那么上极限就是

$$\limsup_{x\to{a}}f(x)=\inf{U}$$

总结

我们单纯利用不等式, 建立起一个非常严格，也非常有应用价值的概念: 确界. 这个概念源于最值, 又高于最值. 当然确界和最值什么时候相等又是一个拓扑学问题. 这又是另外一个话题了.

前言

洛必达法则相比甚至不少高中生甚至初中生都听说过，知道怎么进行简单的应用。简单点说，处理$\frac{0}{0}$的函数时，对上下进行求导，可能会很大程度上简化计算。但是洛必达法则为什么能奏效? 能不能用严格的数理语言进行论证? 这是这篇文章需要解决的。

本博文于2022年10月4日对利用中值定理的证明进行了重新编排。编排的过程中发现最后两步在之前其实是没解释清楚的，甚至存在错误。

洛必达法则的完整论述

设$f$和$g$为$(a,b)$上的实可微函数，且在$(a,b)$区间上总有$g’(x) \ne 0$. 设

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} \to A \quad (x \to a).$$

若

$$f(x) \to 0, g(x) \to 0 \quad (x \to a)$$

或仅有

$$g(x) \to \pm \infty \quad (x \to a)$$

则

$$\frac{f(x)}{g(x)} \to A \quad (x \to a).$$

其中$x \to a$自然也可以换成$x \to b$. 这里把发散到无穷也看作是极限，也就是说$-\infty \le A \le \infty$且$-\infty \le a < b \le +\infty$.

证明1:线性近似

波努利最开始的”证明”

洛必达法则首次出现于1696年洛必达的 Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes 一书中。这本书当然以”洛必达法则”闻名于世。证明是这样完成的:

$$\frac{f(a+dx)}{g(a+dx)}=\frac{f(a)+f’(a)dx}{g(a)+g’(a)dx}=\frac{f’(a)dx}{g’(a)dx}=\frac{f’(a)}{g’(a)}$$

这个证明很好理解，线性近似展开，再考虑到$f(a)=g(a)=0$就得到结果。但是这个做法肯定是不合适的，$dx$在这里非常模糊，也不方便表达$x\to\infty$的情况。关于历史内容可以参见 The Historical Development of the Calculus 一书。

线性近似的严格证明

首先，这里只讨论$h\to0$的情况。实际上，对于其他情况，可以作换元。例如$h\to\infty$时，可以利用$u=\frac{1}{h}$，那么又转换成了$u\to0$的情况。另外我们只讨论函数趋近于$0$的情况。因为趋近于无穷时函数的线性近似可能无法处理。例如$y=\frac{1}{x}$在$x=0$附近是没有近似的。

对函数导数有

$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

我们可以写成

$$f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + r(h)$$

其中$\lim\limits_{h\to0}r(h)=0$，且$r(h)$为连续函数。进行代数变形(这里$r(h)$的正负进行了调整),我们的得到线性近似

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+r(h)h$$

同样可以写出$g(x)$的线性近似

$$g(x+h)=g(x)+g'(x)h+s(h)h$$

那么就能得到

$$\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f(a)+f'(a)h+r(h)h}{g(a)+g'(a)h+s(h)h}=\frac{f'(a)h+r(h)h}{g'(a)h+s(h)h}=\frac{f'(a)+r(h)}{g'(a)+s(h)}$$

而$h\to0$时，$r(h)\to0$，$s(h)\to0$，故得到了结论。

证明2:中值定理

这个证明中，我们会利用柯西中值定理(GMVT)对所有的情况进行完整的证明，这期间涉及到一些不等式运算技巧。证明来自W. Rudin的 Principles Of Mathematical Analysis，我会在其中加上一些额外的解释。关于$g(x) \to \pm\infty$的情况，我们在此只讨论$+\infty$.

情况1: $-\infty\leq{A}<+\infty$

选取实数$q>A$，再选取$\varepsilon>0$使得$A+\varepsilon<q$. 因为$\frac{f’(x)}{g’(x)}\to{A}$，根据极限的定义，必定有实数$\delta\in(0,b-a)$，使得对于所有$a<x<a+\delta$，始终有$-\varepsilon<\frac{f’(x)}{g’(x)}-A<\varepsilon$. 特别地,

$$\frac{f'(x)}{g'(x)}<A+\varepsilon.$$

对任意$a<x<y<a+\delta$，由GMVT可知，存在$t\in(x,y)$使得:

$$\begin{equation}\label{(A)}\tag{1} \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(t)}{g'(t)}<A+\varepsilon \end{equation}$$

最后一个不等式成立是因为$t\in(x,y)\subset(a,a+\delta)$，而在$(a,a+\delta)$中这个不等式成立。接下来，我们根据$g(x)$在$x \to a$时的取值，分别讨论，会发现结果其实类似.

情况1.1: $g(x)\to 0$且$f(x) \to 0$

在不等式$\eqref{(A)}$中，令$x \to a$，会发现有：

$$\frac{0-f(y)}{0-g(y)}=\frac{f(y)}{g(y)}=\frac{f'(t)}{g'(t)} \leq A+\varepsilon<q$$

更正式地说，对任意的$q>A$和$0< \varepsilon< q-A$，都存在$\delta > 0$，使得对任意的$a<y<a+\delta$，均满足不等式

$$\begin{equation}\label{(B)}\tag{2} \frac{f(y)}{g(y)} \le A+\varepsilon<q. \end{equation}$$

（注意：我们这里并没有证明收敛，而只证明了收敛的一半，接下来的情况1.2也是类似的。在接下来我们不刻意地写$\delta$，而是写成指定存在的实数，这样的写法是等价的，虽然初学微积分时可能会感觉比较陌生。）

情况1.2: $g(x)\to+\infty$

固定不等式(A)中的$ y $. 因为$ g(x) \to +\infty $，在$ (a,y) $一定存在$ c_1 $使得对于任意$ a< x < c_1 $，总是有$ g(x) > g(y) $和$ g(x) > 0 $同时成立。将不等式(A)两边同时乘以$ [g(x)-g(y)]/g(x) $，我们得到

$$\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}< (A+\varepsilon)\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}.$$

此即

$$\frac{f(x)}{g(x)}<(A+\varepsilon)\left(1-\frac{g(y)}{g(x)}\right) +\frac{f(y)}{g(x)} \quad (a<x<c_1).$$

根据$g(x) \to +\infty$的定义，存在$c_2 \in (a,c_1)$使得：

$$\begin{equation}\label{(D)}\tag{3} \frac{f(x)}{g(x)} < A+\varepsilon<q. \end{equation}$$

情况1.1和1.2的整合

不等式$\eqref{(B)}$和$\eqref{(D)}$都只说明，存在$c\in(a,b)$使得对于所有$x\in(a,c)$，满足$\frac{f(x)}{g(x)}<q$.但是$\frac{f(x)}{g(x)}$与$A$的关系我们并不知道。但是，如果$A=-\infty$，那么我们已经证明了$\frac{f(x)}{g(x)} \to -\infty$的成立。

情况2: $-\infty<{A}\leq+\infty$

这个情况是和情况1完全类似的。同理可证，对任意$p$，当且仅当$p<A$时，总有$c’\in(a,b)$，使得对于所有$x\in(a,c’)$，满足$p<\frac{f(x)}{g(x)}$. 如果$A=+\infty$，那么我们已经证明了$\frac{f(x)}{g(x)} \to +\infty$的情况。

除去$A=\pm\infty$，综合情况1和2，我们发现，对任意的$p,q$满足$p<A<q$，若取$c_0=\min\{c,c’\}$，则对于任意$x \in (a,c_0)$，一定有

$$p<\frac{f(x)}{g(x)}<q.$$

这其实就等价于$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A$. $\square$

证明中几个小问题

不等式$\eqref{(A)}$第一项的分母为什么一定有意义?

假设它无意义. 如果有$g(x)=g(y)$，那么有$a<{x}<t<y<b$使得$g’(t)=0$, 而这与原假设矛盾.

不等式$\eqref{(B)}$中为什么变成小于等于?

每次改变$x$，$t$也发生改变，记为$t(x)$，此时可能有$\lim\limits_{x\to{a}}\frac{f’(t(x))}{g’(t(x))}=r$.