洛必达法则的几种不同的证明

前言

洛必达法则我想甚至不少高中生甚至初中生都听说过,知道怎么进行简单的应用。简单点说,处理\(\frac{0}{0}\)的函数时,对上下进行求导,可能会很大程度上简化计算。但是洛必达法则为什么能奏效? 能不能用严格的数理语言进行论证? 这是这篇文章需要解决的.

洛必达法则的完整论述

假设有定义在\((a,b)\)可导的实函数\(f\)\(g\),且\(g’(x)\neq0\)对所有\(x\in(a,b)\)恒成立,其中\(a\)\(b\)满足 \[ -\infty\leq{a}<{b}\leq+\infty.\]
若有\[\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{g’(x)}=A,\]且如果\[\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,\]\[\lim_{x\to a}g(x)=+\infty,\]那么\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A\]类似的结论对\(x\to{b}\)或者\(g(x)\to-\infty\)也成立。

证明1:线性近似

波努利最开始的”证明”

洛必达法则首次出现于1696年洛必达的 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes 一书中。这本书当然以”洛必达法则”闻名于世。证明是这样完成的: \[ \frac{f(a+dx)}{g(a+dx)}=\frac{f(a)+f’(a)dx}{g(a)+g’(a)dx}=\frac{f’(a)dx}{g’(a)dx}=\frac{f’(a)}{g’(a)} \]

这个证明很好理解,线性近似展开,再考虑到\(f(a)=g(a)=0\)就得到结果。但是这个做法肯定是不合适的,\(dx\)在这里非常模糊,也不方便表达\(x\to\infty\)的情况。关于历史内容可以参见 The Historical Development of the Calculus 一书。

线性近似的严格证明

首先,这里只讨论\(h\to0\)的情况。实际上,对于其他情况,可以作换元。例如\(h\to\infty\)时,可以利用\(u=\frac{1}{h}\),那么又转换成了\(u\to0\)的情况。另外我们只讨论函数趋近于\(0\)的情况。因为趋近于无穷时函数的线性近似可能无法处理。例如\(y=\frac{1}{x}\)\(x=0\)附近是没有近似的。

对函数导数有 \[ f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \]

我们可以写成 \[ f’(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + r(h) \]

其中\(\lim\limits_{h\to0}r(h)=0\),且\(r(h)\)为连续函数。进行代数变形(这里\(r(h)\)的正负进行了调整),我们的得到线性近似 \[ f(x+h)=f(x)+f’(x)h+r(h)h \]

同样可以写出\(g(x)\)的线性近似 \[ g(x+h)=g(x)+g’(x)h+s(h)h \]

那么就能得到 \[ \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f(a)+f’(a)h+r(h)h}{g(a)+g’(a)h+s(h)h}=\frac{f’(a)h+r(h)h}{g’(a)h+s(h)h}=\frac{f’(a)+r(h)}{g’(a)+s(h)} \]

\(h\to0\)时,\(r(h)\to0\)\(s(h)\to0\),故得到了结论。

证明2:中值定理

这个证明中,我们会利用柯西中值定理(GMVT)对所有的情况进行完整的证明,这期间涉及到一些不等式运算技巧。证明来自W. Rudin的 Principles Of Mathematical Analysis,我会在其中加上一些额外的解释。

情况1: \(-\infty\leq{A}<+\infty\)

选取实数\(\varepsilon>0\)\(q\)使得\(A<A+\varepsilon<q\)。因为\(\frac{f(x)}{g(x)}\to{A}\),必定有实数\(\delta\in(0,b-a)\)使得对于所有\(a<x<a+\delta\),始终有\(-\varepsilon<\frac{f’(x)}{g’(x)}-A<\varepsilon\)。也就是说 \[\frac{f’(x)}{g’(x)}<A+\varepsilon.\]

\(a<x<y<c\),由GMVT可知,存在\(t\in(x,y)\)使得不等式(A)成立: \[ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f’(t)}{g’(t)}<A+\varepsilon \] 最后一个不等式成立是因为\(t\in(x,y)\subset(a,b)\),而\((a,b)\)中这个不等式成立。

情况1.1: \(g(x)\to0\)

\(x\to{a}\),此时关于\(x\)\(y\)的不等式会有\(\frac{f(y)}{g(y)}\leq{A+\varepsilon}<q\quad(a<y<a+\delta)\)

也就是说,对任意实数\(\varepsilon>0\),有\(\delta>0\),使得\(a<y<a+\delta\)时,满足不等式(B): \[ \frac{f(y)}{g(y)}\leq\varepsilon+A<q \]

(注意:这个地方并没有用\(\varepsilon-\delta\)证明了这个情况下的收敛)

情况1.2: \(g(x)\to+\infty\)

\(r=A+\varepsilon\)。固定不等式(A)中的\(y\),因为\(g(x)\to+\infty\),能找到一个值\(c\in(a,b)\)使得\(g(x)>g(y)\)\(g(x)>0\)对所有\(x\in(a,c)\)同时成立。那么不等式(A)两边同时乘以\([g(x)-g(y)]/g(x)\),能得到不等式(C) \[ \frac{f(x)}{g(x)}<r-r\frac{g(y)}{g(x)}+\frac{f(y)}{g(x)}\quad(a<x<c) \]

\(x\to{a}\),因为\(g(x)\to+\infty\),有点\(c_1\in(a,c)\)使得不等式(D)成立: \[ \frac{f(x)}{g(x)}<q\quad(a<x<c_1) \]

情况1.1和1.2的整合

不等式(B)和(D)都只说明,存在\(c\in(a,b)\)使得对于所有\(x\in(a,c)\),满足\(\frac{f(x)}{g(x)}<q\).但是\(\frac{f(x)}{g(x)}\)\(A\)的关系并不知道。

这里要注意,不等式(B)和(D)都只在\(q>A\)时成立,也就是说,如果\(q=A\),那么有\(\frac{f(x)}{g(x)}\geq{q}=A\)。也就是说,对于所有\(q>A\),都存在\(c\in(a,b)\),使得对于所有\(x\in(a,c)\),满足 \(A\leq\frac{f(x)}{g(x)}<q\),若令\(q\to{A}\),就能得到\(\frac{f(x)}{g(x)}\to{A}\)

情况2: \(-\infty<{A}\leq+\infty\)

这个情况是和情况1完全类似的。同理可证,对任意\(p\),当且仅当\(p<A\)时,总有\(c’\in(a,b)\),使得对于所有\(x\in(a,c’)\),满足\(p<\frac{f(x)}{g(x)}\leq{A}\)

结合\(A\)的这两种情况,原命题得证。

证明中几个小问题

不等式(A)第一项的分母为什么一定有意义?

假设它无意义。如果有\(g(x)=g(y)\),那么有\({x}<t<y\)使得\(g’(t)=0\),此时不满足 \[ f’(t)/g’(t)<A+\varepsilon \] > 不等式(B)中为什么变成小于等于?

每次改变\(x\)\(t\)也发生改变,记为\(t(x)\),此时可能有\(\lim\limits_{x\to{a}}\frac{f’(t(x))}{g’(t(x))}=r\)