The Lebesgue-Radon-Nikodym theorem and how von Neumann proved it
An introductionIf one wants to learn the fundamental theorem of Calculus in the sense of Lebesgue integral, properties of mea...
Counterexamples of Fubini's theorem
Hypotheses in Fubini’s theorem cannot be dispensed withIn this post we proved Fubini’s theorem in the sense of Lebesgue measu...
Fubini's theorem in Euclidean space (Understanding 'almost everywhere')
General IdeaIn elementary calculus, integrals of continuous functions of several variables are often calculated by iterating ...
Topological properties of the zeros of a holomorphic function
What’s going onIf for every $z_0 \in \Omega$ where $\Omega$ is a plane open set, the limit \lim_{z \to z_0}\frac{f(z)-f(...
准素分解与准素标准型
特征向量的推广Matlab(以及很多支持矩阵运算的编程语言)里，知道了一个方阵的特征值，怎么计算特征向量? 有一个比较形象的解决方案: null(A-c.*I) 其中$A$表示矩阵，$c$表示一个特征值，$I$表示单位矩阵。(这篇博客里讨论的线性空间...
线性空间的循环分解
说在前面这篇博客中仅仅引入了循环子空间的概念，遗留了很多问题没得到解决。这些问题会在这篇博客中得到解决。一个矩阵的有理标准形虽然不能得到与特征值、特征向量有关的内容，但是在分解期间只涉及到了加法和乘法，不会出现扩充数域的现象。可以说，有理标准形能得到...
线性变换不变子空间的导子及其性质
问题的引入在研究循环子空间的时候，我们是从线性变换出发，对一个指定的向量进行反复作用，这恰好和多项式吻合。这是从线性变换和唯一指定向量的角度出发的。但是有的时候不能从向量出发，因为选取一个合适的向量不总是可行的，我们也不一定需要研究全体多项式。可能更...
线性空间的循环子空间与简单应用
矩阵的有理标准形矩阵对角化分解虽然会得到最简单的形式，但是条件是很苛刻的。它要求被分解的$n$阶矩阵有$n$个线性不相关的特征向量，具体地说，一个矩阵可对角化当且仅当对应特征值的几何重数等于对应的代数重数。还有可能需要扩张数域，例如实矩阵解出复根，考...
抽象Lebesgue积分的构建
从一个”难题”入手 设$\{f_n\}$是一个定义在$[0，1]$上的连续函数列，且$0\leq f_n\leq 1$. $n\to\infty$时，对任意$x\in[0，1]$有$f_n(x)\to{0}$. 求证 \lim_{n\to\inft...
欧拉反射公式和利用Fourier级数的证明
$\Gamma$函数将自然数和连续函数很自然地结合起来，在各个领域有着各种意想不到的作用。 它的细节绝对不是只言片语能解释完的。 在这里我会介绍一个很有意思的公式: 欧拉反射公式。 当然，如果视野仅仅停留在一个公式上，那肯定不行。 欧拉反射公式 \G...