问题的引入

在研究循环子空间的时候,我们是从线性变换出发,对一个指定的向量进行反复作用,这恰好和多项式吻合。这是从线性变换和唯一指定向量的角度出发的。但是有的时候不能从向量出发,因为选取一个合适的向量不总是可行的,我们也不一定需要研究全体多项式。可能更需要研究一个特定的多项式。这就要求我们在另一个角度刻画不变子空间。

循环空间是某个线性变换的最小不变子空间。那么可不可以研究某个子空间、某个指定线性变换的保证线性空间不变性的多项式?

设$W\subset{V}$为$V$的子空间,如果对任意$\alpha\in{W}$都有$\mathscr{A}\alpha\in{W}$,那么$W$就是$\mathscr{A}$的不变子空间。设多项式$g(\lambda)=\lambda$,那么就有$g(\mathscr{A})\alpha\in{W}$。如果$g(\lambda)$更复杂一些会怎样?有没有什么特殊的例子和性质?对于所有$\alpha\in{V}$又是怎样?这就是这篇博客要关注的问题。线性空间的循环分解也要用到这一个工具。

导子多项式(Conductor)

设$V$是定义在数域$\mathbb{F}$上的有限维线性空间,定义线性变换$\mathscr{A}:V\to{V}$,设$W$为$\mathscr{A}$的线性子空间。取$\textbf{v}\in{V}$。那么将$\textbf{v}$映入$W$的导子多项式$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$是指满足$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的次数最小的首项系数为$1$的多项式(首一多项式,monic polynomial); 多项式$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$是指将全体$\textbf{v}\in{V}$都有$P(\mathscr{A})\in{W}$的次数最小的首项系数为$1$的多项式。

分别记所有满足$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的全体多项式为$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$和$I(W,\mathscr{A})$,称为引导多项式。这里$I$的意思是Ideal。因为这是$\mathbb{F}[\lambda]$的一个理想。

这可以看作最小多项式的推广。实际上,对于指定向量和全体向量空间的多项式,只需要将定义中的$W$换成${\textbf{0}}$即可,记为$P_{\text{min }\mathscr{A},\textbf{v}}$和$P_{\text{min }\mathscr{A}}$。

另外可以考虑$V=\mathbb{R}^3$中的一个例子。设$W=\mathbb{R}^2$,定义矩阵

和线性变换$\mathscr{A}:x\mapsto{Ax}$。那么显然$W$是$\mathscr{A}$的不变子空间,且$P(\lambda)=\lambda=P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$。它将$V$中全体向量都映入$W$。自然它也是$(0,0,1)^T$的引导多项式。

如果$W\neq{V}$,对于$\textbf{v}\in{V-W}$,到底需要怎样的”代价”才能利用$\mathscr{A}$将$\textbf{v}$“导入”$W$?这”代价”就是导子。

两种导子多项式的存在性、唯一性

好在这两种多项式是稳定存在的,这也为我们探讨后面的性质做了保证。

首先是$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$的存在性。和循环子空间的零化子类似,通过讨论维数和线性无关性解决。假设导子不存在,设$\textbf{v}\in{V-W}$。则有$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})=\varnothing$。设$V$的维度为$n$,那么向量$\textbf{v},\mathscr{A}\textbf{v},\cdots,\mathscr{A}^n\textbf{v}$必定线性相关。也就是说有 其中$c_k\in\mathbb{F}$不全为$0$。那么$P(\lambda)=\sum_{k=0}^{n}c_k\lambda^k$就是一个非$0$多项式使得$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的多项式。这和假设矛盾。存在性得到证明。

对线性空间的导子而言,考虑$V$的一组基${\textbf{e}_i}(i=1,\cdots,n)$。那么只需要考虑

不妨验证一下,对任意$\textbf{v}\in{V}$,都有$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$。因此$I(W,\mathscr{A})\neq\varnothing$。


两种导子的唯一性讨论是类似的。设有最高次数相同的首一多项式$P(\lambda),Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$,那么$(P-Q)(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$。而$P-Q$的次数更低,除以第一项次数又变成了首一多项式。因此唯一性得到了保证。$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$也可以类似进行讨论。

导子的性质

这一节中$V,W,\mathscr{A},\textbf{v}$和上一节相同。

定理0: 对任意$Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$,都有 类似结果在$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$中也成立。

这说明,导子是对应引导多项式的最小公因式。这个结论看上去是显然的,证明也是很简单的。假设

那么有非零多项式$R(\lambda)$使得

其中$R(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$,且最高次数小于$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$。然而$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$的次数是最低的。这得到了一个矛盾。$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$和$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$也用相同的办法进行证明。


定理1: 存在向量$\textbf{v}\in{V}$使得

这个结论将两种导子充分地联系起来。显然有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A},\textbf{v})}$,但是反过来又是怎样?这就需要证明这个结论。这个结论看似复杂,但是从多项式的性质,就很平凡了。这个定理的证明可以划分成证明这两个引理:

(引理1)设两多项式满足$\text{gcd}(P(\lambda),Q(\lambda))=1$,对于向量$\textbf{u},\textbf{v}\in{V}$,有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u}}(\lambda)=P(\lambda)$和 $P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)=Q(\lambda)$,那么

这可以看成导子多项式关于生成向量的加法和多项式乘法的统一。还可以注意到,$P$和$Q$的互素也对应了$\textbf{u}$和$\textbf{v}$的线性无关性。

首先有

根据定理0,一定有 此时就有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)R(\lambda)=P(\lambda)Q(\lambda)$。现在需要证明,$R(\lambda)=1$。

不失一般性,不妨设$S(\lambda)=\frac{P(\lambda)}{R(\lambda)}$。那么经过简单的运算就有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)=S(\lambda)Q(\lambda)$。现在假设$\text{deg}R>0$,那么$\text{deg}S<\text{deg}P$。那么不难得到$Q(\mathscr{A})S(\mathscr{A})\textbf{u}\notin{W}$和$S(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})\textbf{u}\in{W}$同时成立。但是

这得到了矛盾。因此$R=1$。引理1得证。


(引理2)设$P(\lambda)$是一个在$\mathbb{F}$上不可约的多项式,设有正整数$m$使得$(P(\lambda))^m|P_{\text{cond }W,\mathscr{A}(\lambda)}$,那么存在$\textbf{v}\in{V}$使得$P_{\text{cond },W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)=(P(\lambda))^m$

由条件可以设

注意到一定存在$\textbf{v}_0$使得

否则,有$(P(\lambda))^{m-1}Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$,而次数低于$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$。已知$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$是$I(W,\mathscr{A})$里次数最低的,所以这得到了矛盾.

另一方面,$(P(\mathscr{A}))^mQ(\mathscr{A})\textbf{v}_0=P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\mathscr{A})\in{W}$。令$\textbf{u}=Q(\mathscr{A})\textbf{v}_0$,那么就有

已经验证,这里的$m$不能再低,同时也不难验证$P^m$为首一多项式。所以有

引理2得证


最后来考虑定理1。首先,域$\mathbb{F}$上任意非常数多项式$f$都可以唯一分解为不可约因子,即

其中$p_i$是不可约的,且这种乘积是唯一的(不考虑常数项和次序).

那么$P_{\text{cond },W,\mathscr{A}}(\lambda)$就可以进行分解(如果导子是常数,结论是显然的),合并相同因子之后有

那么根据引理2就有$\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\cdots,\textbf{v}_n\in{V}$使得

又根据引理1,令$\textbf{v}_1+\textbf{v}_2+\cdots+\textbf{v}_n=\textbf{v}$,就能得到

得证。