洛必达法则的几种不同的证明
前言
洛必达法则相比甚至不少高中生甚至初中生都听说过，知道怎么进行简单的应用。简单点说，处理$\frac{0}{0}$的函数时，对上下进行求导，可能会很大程度上简化计算。但是洛必达法则为什么能奏效? 能不能用严格的数理语言进行论证? 这是这篇文章需要解决的。
本博文于2022年10月4日对利用中值定理的证明进行了重新编排。编排的过程中发现最后两步在之前其实是没解释清楚的，甚至存在错误。
洛必达法则的完整论述
设$f$和$g$为$(a,b)$上的实可微函数，且在$(a,b)$区间上总有$g’(x) \ne 0$. 设
若
或仅有
则
其中$x \to a$自然也可以换成$x \to b$. 这里把发散到无穷也看作是极限，也就是说$-\infty \le A \le \infty$且$-\infty \le a < b \le +\infty$.
证明1:线性近似
波努利最开始的”证明”
洛必达法则首次出现于1696年洛必达的 Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes 一书中。这本书当然以”洛必达法则”闻名于世。证明是这样完成的:
这个证明很好理解，线性近似展开，再考虑到$f(a)=g(a)=0$就得到结果。但是这个做法肯定是不合适的，$dx$在这里非常模糊，也不方便表达$x\to\infty$的情况。关于历史内容可以参见 The Historical Development of the Calculus 一书。
线性近似的严格证明
首先，这里只讨论$h\to0$的情况。实际上，对于其他情况，可以作换元。例如$h\to\infty$时，可以利用$u=\frac{1}{h}$，那么又转换成了$u\to0$的情况。另外我们只讨论函数趋近于$0$的情况。因为趋近于无穷时函数的线性近似可能无法处理。例如$y=\frac{1}{x}$在$x=0$附近是没有近似的。
对函数导数有
我们可以写成
其中$\lim\limits_{h\to0}r(h)=0$，且$r(h)$为连续函数。进行代数变形(这里$r(h)$的正负进行了调整),我们的得到线性近似
同样可以写出$g(x)$的线性近似
那么就能得到
而$h\to0$时，$r(h)\to0$，$s(h)\to0$，故得到了结论。
证明2:中值定理
这个证明中，我们会利用柯西中值定理(GMVT)对所有的情况进行完整的证明，这期间涉及到一些不等式运算技巧。证明来自W. Rudin的 Principles Of Mathematical Analysis，我会在其中加上一些额外的解释。关于$g(x) \to \pm\infty$的情况，我们在此只讨论$+\infty$.
情况1: $-\infty\leq{A}<+\infty$
选取实数$q>A$，再选取$\varepsilon>0$使得$A+\varepsilon<q$. 因为$\frac{f’(x)}{g’(x)}\to{A}$，根据极限的定义，必定有实数$\delta\in(0,b-a)$，使得对于所有$a<x<a+\delta$，始终有$-\varepsilon<\frac{f’(x)}{g’(x)}-A<\varepsilon$. 特别地,
对任意$a<x<y<a+\delta$，由GMVT可知，存在$t\in(x,y)$使得:
最后一个不等式成立是因为$t\in(x,y)\subset(a,a+\delta)$，而在$(a,a+\delta)$中这个不等式成立。接下来，我们根据$g(x)$在$x \to a$时的取值，分别讨论，会发现结果其实类似.
情况1.1: $g(x)\to 0$且$f(x) \to 0$
在不等式$\eqref{(A)}$中，令$x \to a$，会发现有：
更正式地说，对任意的$q>A$和$0< \varepsilon< q-A$，都存在$\delta > 0$，使得对任意的$a<y<a+\delta$，均满足不等式
（注意：我们这里并没有证明收敛，而只证明了收敛的一半，接下来的情况1.2也是类似的。在接下来我们不刻意地写$\delta$，而是写成指定存在的实数，这样的写法是等价的，虽然初学微积分时可能会感觉比较陌生。）
情况1.2: $g(x)\to+\infty$
固定不等式(A)中的$ y $. 因为$ g(x) \to +\infty $，在$ (a,y) $一定存在$ c_1 $使得对于任意$ a< x < c_1 $，总是有$ g(x) > g(y) $和$ g(x) > 0 $同时成立。将不等式(A)两边同时乘以$ [g(x)-g(y)]/g(x) $，我们得到
此即
根据$g(x) \to +\infty$的定义，存在$c_2 \in (a,c_1)$使得：
情况1.1和1.2的整合
不等式$\eqref{(B)}$和$\eqref{(D)}$都只说明，存在$c\in(a,b)$使得对于所有$x\in(a,c)$，满足$\frac{f(x)}{g(x)}<q$.但是$\frac{f(x)}{g(x)}$与$A$的关系我们并不知道。但是，如果$A=-\infty$，那么我们已经证明了$\frac{f(x)}{g(x)} \to -\infty$的成立。
情况2: $-\infty<{A}\leq+\infty$
这个情况是和情况1完全类似的。同理可证，对任意$p$，当且仅当$p<A$时，总有$c’\in(a,b)$，使得对于所有$x\in(a,c’)$，满足$p<\frac{f(x)}{g(x)}$. 如果$A=+\infty$，那么我们已经证明了$\frac{f(x)}{g(x)} \to +\infty$的情况。
除去$A=\pm\infty$，综合情况1和2，我们发现，对任意的$p,q$满足$p<A<q$，若取$c_0=\min\{c,c’\}$，则对于任意$x \in (a,c_0)$，一定有
这其实就等价于$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A$. $\square$
证明中几个小问题
不等式$\eqref{(A)}$第一项的分母为什么一定有意义?
假设它无意义. 如果有$g(x)=g(y)$，那么有$a<{x}<t<y<b$使得$g’(t)=0$, 而这与原假设矛盾.
不等式$\eqref{(B)}$中为什么变成小于等于?
每次改变$x$，$t$也发生改变，记为$t(x)$，此时可能有$\lim\limits_{x\to{a}}\frac{f’(t(x))}{g’(t(x))}=r$.
洛必达法则的几种不同的证明