优美的Fourier级数(二): 有界差分下的收敛(Jordan判别法)

前言

如果你和Fourier级数打交道,那么在处理间断函数,特别是锯齿状函数的时候,有没有注意过间断处的形状?它为什么会处在中间位置?什么时候会出现这种情况?这就是接下来要解决的问题. 这篇文章中, 会涉及到各种与三角函数、定积分、导函数有关的基本重要技巧. 还是那句话,Fourier级数绝对不仅仅是处理一系列三角函数. 还要注意,这里我们探讨的函数应该是定义在\([-\pi,\pi]\)的实函数. 这篇文章中实际要做的事情是, 利用定积分的各种性质, 进行无穷小量的分析.

Jordan判别法

如果\(f\)是有界差分,那么 \[ s_N(x)\to\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} \]

其中\(f(x^+)=\lim\limits_{h\to0^+}f(x+h)\), \(f(x^-)=\lim\limits_{h\to0^+}f(x-h)\)

理论准备1: 有界差分

有界差分可以看成推广的“弧长”. 在\([a,b]\)上,\(f(x)\)的总差分的定义是这样: \[ T_f(x):=\sup\{\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})||a=x_0<x_1<\cdots<x_n=x\} \] 对于连续函数来说,这就是\(f(x)\)\([a,x]\)的弧长. 而如果\(f(x)\)\([a,b]\)上的有界差分,那么只需要满足\(T_f(b)<\infty\).

注意到, \(f(x)\)还可以写成

\[ f(x)=\frac{1}{2}[T_f(x)+f(x)]-\frac{1}{2}[T_f(x)-f(x)] \]

\(\frac{1}{2}[T_f(x)+f(x)]\)\(\frac{1}{2}[T_f(x)-f(x)]\)都是非负的单调增函数. 事实上,有界差分一定可以写成两个单调增函数的差,具体证明可以参见这里.

理论准备2: 积分第二中值定理

如果定义在\([a,b]\)上的实函数\(f\)\(g\)满足\(f\)连续且\(g\)单调,那么存在\(c\in(a,b)\)使得 \[ \int_a^bf(x)g(x)dx=g(a^+)\int_a^cf(x)dx+g(b^-)\int_c^bf(x)dx \]

这个定理的证明可以参见这里,也可以用Abel变换进行证明.

回到Jordan判别法的证明

因为\(D_N(x)\)是偶函数,\(S_N(x)\)可以重写成 \[ S_N(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}(f(x-t)+f(x+t))D_N(t)dt \]

如果我们定义\(g(t)=f(x+t)+f(x-t)\), 那么就有 \[ g(0^+)=f(x^+)+f(x^-) \]

原命题即证明 \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}g(t)D_N(t)dt\to\frac{g(0^+)}{2} \]

又考虑到\(g(t)\)是有界差分,可以写成两个单调增函数的差. 那么这里只需要这个极限对单调增函数成立即可.

设有单调增函数\(h(t)\), 定义\(H(t)=h(t)-h(0^+)\); 注意到 \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}H(t)D_N(t)dt\to\frac{H(0^+)}{2}=0 \] 当且仅当 \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}h(t)D_N(t)dt\to\frac{h(0^+)}{2} \] 这是因为\(\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}D_N(t)dt=\frac{1}{2}\). 那么不失一般性,可以设\(h(0^+)=0\), 那么需要证明, \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}h(t)D_N(t)dt\to 0\quad(N\to\infty) \]

因为\(h(0^+)=0\), 根据连续的定义, 对任意\(\varepsilon>0\), 有\(\delta>0\)使得对任意\(0<x<\delta\)\(0<h(x)<\varepsilon\). 原积分可以展开为 \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}h(t)D_N(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\delta}h(t)D_N(t)dt+\frac{1}{2\pi}\int_{\delta}^{\pi}h(t)D_N(t)dt \]

注意到最后一个积分可以写成 \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}\frac{h(t)}{\sin(t/2)}\chi_{[\delta,\pi]}\sin(N+\frac{1}{2})tdt \]

其中 \[ \chi_E=\begin{cases}1,x\in E \\ {0}, x\notin E\end{cases} \]

那么这个积分的讨论就和上一篇里收敛性证明的最后利用Bessel不等式的推论的过程一样了, 将\(\sin(N+\frac{1}{2})t\)展开之后, 我们得到,这个积分的极限为\(0\). 证明在此略去.

第一个积分我们用积分第二定理展开, 得到: \[\begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_0^{\delta}h(t)D_N(t)dt&=\frac{1}{2\pi}h(\delta^-)\int_c^{\delta}D_N(t)dt\\ &\leq\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_c^{\delta}D_N(t)dt \end{aligned} \end{equation}\]

其中\(0<c<\delta\). 如果我们能证出\(\int_c^{\delta}D_N(t)dt\)是有界的,那么\(\varepsilon\to0\)时,就有所求结论. 注意到 \[ \left\vert\int_c^{\delta}D_N(t)dt\right\vert\leq \left\vert\int_c^{\delta}\sin(N+\frac{1}{2})t(\frac{1}{\sin(t/2)}-\frac{1}{t/2})dt\right\vert+\left\vert\int_c^{\delta}\frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{t/2}dt\right\vert \] 因为\(\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{\sin(t/2)}-\frac{1}{t/2}=0\), 而且这个函数在\((0,\pi]\)上连续有定义,故\(\frac{1}{\sin(t/2)}-\frac{1}{t/2}\)\([0,\pi]\)上可积. 再利用Bessel不等式的推论,不等式右侧第一个积分趋近于0, 同时也是有界的.

针对另一个积分的讨论,我们首先令\(u=(N+\frac{1}{2})t\), 那么能得到 \[ \int_c^{\delta}\frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{t/2}dt=2\int_{(N+\frac{1}{2})c}^{(N+\frac{1}{2})\delta}\frac{\sin u}{u}du \]

这个积分的有界性可以通过探讨函数\(y=\int_0^{x}\frac{\sin x}{x}dx(x>0)\)得到. 通过很多办法可以发现,\(\lim\limits_{x\to\infty}y=\frac{\pi}{2}\). 具体可以参见这里. 接下来, 我们通过基本的导数和单调性的关系分析它的有界性. 我们要做的是, 证明\(y(\pi)\)\(y\)的最大值(考虑到\(\frac{\sin{x}}{x}\)\((0,\pi]\)处处有界, 必然有\(y(\pi)<\infty\)).

因为\(y’=\frac{\sin x}{x}\), \(y\)\([2k\pi,(2k+1)\pi]\)递增,在\([(2k-1)\pi,2k\pi]\)递减.

\(y\)\([0,\pi]\)递增,所以\(0<x<\pi\)时,\(y(x)<y(\pi)\).

又考虑到 \[ y((2k-1)\pi)-y((2k+1)\pi)=\int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\sin x}{x}dx \]\[ \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\sin x}{x}dx>\int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\sin x}{(2k+1)\pi}dx=0 \] 从而有 \[ y(\pi)>y(3\pi)>\cdots>y((2k+1)\pi) \] 而根据函数的单调性,一定有 \[ \begin{cases} y(2k\pi)<y((2k-1)\pi)\\ y(2k\pi)<y((2k+1)\pi) \end{cases} \] 因此\(y\)的最大值为\(y(\pi)\). 用类似的办法还可以发现\(y(0)\)为最小值. 这说明,\(y\)是有界的.

再回到原来的积分,有 \[ 2\left\vert\int_{(N+\frac{1}{2})c}^{(N+\frac{1}{2})\delta}\frac{\sin u}{u}du\right\vert=2\left\vert y((N+\frac{1}{2})\delta)-y((N+\frac{1}{2})c)\right\vert<2y(\pi) \]

至此,我们证明了\(\int_c^{\delta}D_N(t)dt\)是有界的. 进一步也得出了想要的收敛性的结论.

总结&其他想说的

至此,Jordan判别法得到了证明. 但千万不要认为,Fourier级数的收敛是这么简单的一件事情. 这可能会让人觉得,既然有界差分就有这么好的收敛现象,那么连续函数一定就收敛得更好. 但实际情况完全不一样:存在至少有一点发散的连续函数的Fourier级数(du Bois Reymond, 1873). 此外,甚至存在每点都发散的Fourier级数(Kolmogorov, 1926). 这和处处连续但处处不可导的函数一样,很难想象,但是理论上确实存在.

优美的Fourier级数(二): 有界差分下的收敛(Jordan判别法)

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Author

Desvl

Posted on

2019-08-06

Updated on

2021-10-23

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