前言

Fourier级数是相当优美的一类级数,但它涉及到的问题绝对不仅仅是通过各种运算技巧求表达式。 相反,它是一个很复杂、很困难的大话题。
我在这里会把一些基本内容和一系列严格的证明整理下来。 从Fourier级数出发,我们能看到很多重要的基本技巧的应用,也会遇见和实际应用息息相关的问题。
当然这些内容里不会包括如何求表达式,我觉得计算机做得比我好多了。

Fourier级数

在读这篇文章时, 你可能已经学到了一些求Fourier级数系数的技巧, 这可以看成一元微积分的角度的理解。 接下来,
我们希望从向量几何的角度看待Fourier级数。 当然, 这里不是要求画出几何图像, 而是要求理解运算规则。

级数的表达

最常见的Fourier级数是这种形式:
\[
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad
x\in\mathbb{R}
\]

这里的$a_n$和$b_n$既可以是实数又可以是复数(但我们接下来主要讨论实数函数$f$)。 有的地方把第一项写成$\frac{a_0}{2}$,
这是考虑到积分时会多出来的一个$\frac{1}{2}$。 两种写法单纯是关于如何统一表达,在后面会解释。 考虑到$e^{ix}=\cos x+i\sin
x$, 上面的式子可以写成
\[
f(x)= \sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}\quad x\in\mathbb{R}
\]

用这种表达方式时不用考虑$c_n$的细节。 注意到$a_0$可以写成$a_0\cos 0x + b_0\sin 0x$。

关于级数的系数,即函数的“坐标”

单位正交系

我们先回忆线性代数里的知识。 一个行向量和一个列向量的乘积是这样的:

\begin{equation}
\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=ac+bd
\end{equation} 进一步,第一个行向量可以看成列向量的转置。 那么这个$ac+bd$就是两个2维平面内列向量的内积。这就是高中数学中所讲的“向量乘法”。 这涉及到经典欧基里德空间的内积定义。 而谈到向量,单位正交向量肯定是非常有探讨价值的。因为一般情况下其他向量可以用单位正交向量比较简介地表示出来。
但是向量内积不仅仅存在于经典的欧氏空间。我们可以定义一系列定义域相同的函数,例如$[a,b]$上的函数$f$和$g$的内积可以定义成
\[ (f,g):=\int_a^b f(x)\overline{g}(x)dx
\]
其中$\overline{g}$表示$g$的共轭复数。

在内积空间里, 两个向量的内积为$0$, 说明两个向量正交(这和欧几里得空间是一致的)。 或者更形象地说, 夹角为$\frac{\pi}{2}$。
而向量的模的平方即自身和自身的内积。 我们可以定义函数的“单位正交系”

若定义在$[a,b]$上的一系列函数$\{\varphi_n(x)\}$若满足$(\varphi_n,\varphi_n)=1$而$(\varphi_n,\varphi_m)=0(m\neq n)$, 则被称为单位正交系。

再看Fourier级数

可以验证,在$[-\pi,\pi]$上,下列两组函数是满足单位正交的条件的:
\[
\frac{e^{ix}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{2ix}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{3ix}}{\sqrt{2\pi}},\cdots
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\cos x}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}},\cdots
\]

读到这里可以发现,$a_0$和$\frac{a_0}{2}$的表示应该和$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$或者$\frac{1}{\sqrt{\pi}}$有关。

在$\mathbb{R}^n$里,如果知道单位正交向量$\mathbf{e_1},\cdots,\mathbf{e_n}$,
那么任意向量都可以唯一表示成$x_1\mathbf{e_1}+\cdots+x_n\mathbf{e_n}$。 向量$\mathbf{\alpha}$在的第$k$坐标分量为$(\mathbf{\alpha},\mathbf{e_k})$。
通过这个角度看Fourier级数,就会发现,各项的系数就是函数的坐标:
\[
c_m=\int_a^bf(x)\overline{\varphi_m}(x)dx
\]
如果我们再看第二个复函数形式的表达式,就有
\[
c_m=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-imx}dx
\]
为了得到这个形式($c_m$不受影响),
我们先用$\frac{e^{imx}}{\sqrt{2\pi}}$表示$f$, 应该有
\[
\frac{f(x)}{\sqrt{2\pi}}=\sum_{-\infty}^{\infty}c_n\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}
\]

这里到底发生了什么? 我们把傅里叶级数的问题放到了一个以函数为元素的空间中, 然后选择了一组空间的, 然后求出的系数就是这组基下的坐标。 于是, 我们找到了傅里叶级数的几何意义(抽象上的), 这使我们能像高中平面几何、空间几何一样利用向量的性质解决一些问题, 尽管傅里叶级数涉及到的空间的维度是无穷大。

内积运算的规则

下列内积运算的规则会在接下来用到。 涉及到复数, 因此和经典欧基里德空间有不同之处(但是考虑到实数的共轭复数是本身, 最后一个性质其实是一样的)。 但是可以一个一个进行验证。

  • $(a+c,b)=(a,b)+(c,b)$

  • $(a,b+c)=(a,b)+(a,c)$

  • $(ka,b)=k(a,b)$

  • $(a,kb)=k(a,b)$

  • $(a,b)=\overline{(b,a)}$

Dirichlet核

定义式

Dirichlet核的定义是这样的:
\[
D_N(x)=\sum_{-N}^N e^{inx} = \frac{\sin(N+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{x}{2}}
\]

第二个等号既可以直接合并$e^{inx}$和$e^{-inx}$得到$\cos nx$的式子从而进行积化和差,又可以利用等比数列的性质得到。

搭建起Dirichlet核和原函数的桥梁

针对文章开头提到的第二种定义,可以定义函数数列
\[
s_N(x)=\sum_{-N}^N c_ne^{inx}
\]
将$c_n$展开,有
\begin{equation}
\begin{aligned}
s_N(x)&=\sum_{-N}^N\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\right)e^{inx}\\
&=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi}f(t)\sum_{-N}^Ne^{in(x-t)}dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_N(x-t)dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)D_N(t)dt
\end{aligned}
\end{equation}
最后一个等号通过函数的周期性和简单的换元运算得到。 至此,Dirichlet核和原函数的桥梁就被搭建起来了。
接下来,需要证明,以这个函数核构建的函数收敛于$f$。

Bessel不等式以及其重要推论

设$f(x)$在正交函数系${\varphi_n(x)}$下的系数为${c_n}$,
则有$\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2\leq(f,f)$。

设$s_n(x)=\sum_{m=1}^n c_m\varphi_m(x)$, 其中$c_m=\int_a^b
f(x)\overline{\varphi_m}(x)dx$。 下面通过讨论$s_n(x)$到$f(x)$的误差得到这个不等式和一个重要的推论。

注意到$(f,s_n)=\int_a^b
f(x)\sum\overline{c_m}\overline{\varphi_m(x)}dx=\sum\overline{c_m}\int_a^b
f(x)\overline{\varphi_m(x)}dx=\sum|c_m^2|=\overline{(f,s_n)}=(s_n,f)$,
以及$(s_n,s_n)=\sum|c_m^2|$, \begin{equation} \begin{aligned}
(f-s_n,f-s_n)&=(f,f-s_n)-(s_n,f-s_n)\\\
&=(f,f)-(f,s_n)-(s_n,f)+(s_n,s_n)\\\
&=(f,f)-(s_n,s_n)\\\
&\geq 0 \end{aligned} \end{equation} 也就是说,
\[
(s_n,s_n)=\sum_1^n|c_m|^2\leq(f,f)
\]
$n\to\infty$时,就是所谓的Bessel不等式。
也可以发现,函数的Fourier系数$c_m$满足$\lim\limits_{n\to\infty}c_m=0$。
这个推论会在下面Dirichlet核收敛的证明中用到。

收敛证明

(Dini’s Test)若对一些$x$有常数$\delta>0$和$M<\infty$使得
\[
|f(x+t)-f(x)|\leq M|t|
\]
对所有$t\in(-\delta,\delta)$成立,那么有
\[
\lim\limits_{n\to\infty}s_N(x)=f(x)
\]

要注意的是,我们在这里只讨论逐点收敛。 其他形式的收敛会在接下来的文章中讨论

定义函数
\[
g(t)=
\begin{cases}
\frac{f(x-t)-f(t)}{\sin(t/2)},0<|t|<\pi\\
0,t=0
\end{cases}
\]
考虑到
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(x)dx=1
\]
因此有
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)f(x)dt=f(x)
\]
所求函数和原函数做差,就有
\begin{equation}
\begin{aligned}
s_N(x)-f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)tdt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left[g(t)\cos\frac{t}{2}\right]\sin Ntdt+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left[g(t)\sin\frac{t}{2}\right]\cos Ntdt
\end{aligned}
\end{equation}
根据$f(x)$的条件和$g(x)$的定义,$g(x)\cos(t/2)$和$g(x)\sin(t/2)$是有界的。
利用Bessel不等式的推论可以发现,这两个积分趋近于$0$。 这就证明了结论。

总结&我接下来想写的

写到这里,已经涉及到了很多数学中的基本技巧:三角函数、向量内积、复变函数、等比数列、函数项数列收敛等等。 Fourier级数可以说是相当“优美”的一类级数。 在一些领域中,展开式中每一项均具有物理意义这是其他级数难以企及的。 我们又可以看到,Fourier级数还可以跳出三角函数的限制, 放在普遍的无穷维空间的规范正交基。 此外,它的收敛定理相比幂级数而言也是很宽松的。

接下来还有很多内容,我暂时的打算是这样的:

  • Jordan’s criterion(关于$s_N(x)$收敛什么时候收敛到什么值),涉及到“有界差分”的概念

  • Parseval等式和应用(Fourier分析理论的核心内容之一),如三角函数系的完备性

  • Fejer核、Poisson核(一致收敛问题)

“优美的Fourier级数”系列

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