线性空间的循环分解

说在前面

这篇博客中仅仅引入了循环子空间的概念，遗留了很多问题没得到解决。这些问题会在这篇博客中得到解决。一个矩阵的有理标准形虽然不能得到与特征值、特征向量有关的内容，但是在分解期间只涉及到了加法和乘法，不会出现扩充数域的现象。可以说，有理标准形能得到一类相似矩阵更朴素的信息.

循环分解

设$V$是$\mathbb{F}$上的$n$维线性空间，$\mathscr{A}$是$V$的线性变换，则 $V=\bigoplus_{i=1}^r\mathbb{F}\big[\mathscr{A}\big]\alpha_i$ 其中，$\mathbb{F} [\mathscr{A}] \alpha_i\neq\{0\}$为$\alpha_i\in{V}$生成的循环子空间.

注意，这里的直和告诉我们，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关。

这里我们会用到这篇博客里提到的导子。其实，这一节也可以看成导子性质的补充。我们会用到下面一个基本事实：设$U \subset W \subset V$，则有

$$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)|P_{\text{cond }U,\mathscr{A}}(\lambda).$$

这是因为，对于任意的$\alpha \in V$，我们有$P_{\text{cond }U,\mathscr{A}}(\lambda)\alpha \in U \subset W$，因此$P_{\text{cond }U,\mathscr{A}}(\lambda) \in I(W,\mathscr{A})$.

从此还能得到的一个结论是$I(U,\mathscr{A}) \subset I(W,\mathscr{A})$. 在学习了交换代数，特别是Krull维度相关的内容，就会对这里有不一样的理解。但是这已经远远超出这篇博客的范围。

循环分解的证明

如果$V$本身是一个相对于$\mathscr{A}$的循环空间，那么证明结束。现在讨论另一种情况.

讨论导子时我们了解到，存在$\alpha_1\in{V}$使得

$$P_{\text{min }\mathscr{A}}(\lambda)=P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_1}(\lambda)$$

设$W_1=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_1$，并为方便起见设$W_0=0$. 又可以选取$\beta_2 \in V \setminus W_1$使得

$$R_2(\lambda)=P_{\text{cond }W_1,\mathscr{A}}(\lambda)=P_{\text{cond }W_1,\mathscr{A},\beta_2}(\lambda)$$

我们自然希望，$R_2(\lambda)$的“地位”和$P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_1}(\lambda)$ 类似。对此，我们断言，可以调整$\beta_2$至某$\alpha_2$，使得$R_2(\lambda)=P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)$. 证明此断言后，我们可以用类似的办法继续寻找后面的多项式，最终得到结论。

首先，$R_2(\mathscr{A})\beta_2=Q_1(\mathscr{A})\alpha_1$. 我们首先感兴趣的是$Q_1$和$R_2$的关系。对此，设

$$Q_1(\lambda)=R_2(\lambda)h_1(\lambda)+r_1(\lambda),\quad \deg r_1 < \deg R_2.$$

则立刻得到$R_2(\mathscr{A})\beta_2=R_2(\mathscr{A})h_1(\mathscr{A})\alpha_1+r_1(\mathscr{A})\alpha_1$. 令

$$\alpha_2=\beta_2-h_1(\mathscr{A})\alpha_1 \in \beta+W_1.$$

则

$$R_2(\mathscr{A})\alpha_2=R_2(\mathscr{A})h_1(\mathscr{A})\alpha_1+r_1(\mathscr{A})\alpha_1-R_2(\mathscr{A})h_1(\mathscr{A})\alpha_1=r_1(\mathscr{A})\alpha_1 \in W_1.$$

这也说明了$R_2(\lambda)=P_{\text{cond }W_1,\mathscr{A},\beta_2}(\lambda)=P_{\text{ cond }W_1,\mathscr{A},\alpha_2 }(\lambda)$. 这是由导子的定义决定的

由于$W_0 \subset W_1$, 我们又有

$$P_{\text{cond }W_1,\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)|P_{\text{cond }W_0,\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda).$$

注意到$P_{\text{cond }W_0,\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)=P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)$. 从而我们可以整理成

$$R_2(\lambda)|P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda).$$

对于上式我们可以写成

$$P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)=g(\lambda)R_2(\lambda).$$

从此可以得到

$$g(\mathscr{A})P_{\text{cond }W_0,\mathscr{A},\alpha_2}(\mathscr{A})\alpha_2=g(\mathscr{A})r_1(\mathscr{A})\alpha_1=0.$$

若$r_1 \ne 0$, 则$P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_1}(\lambda)|[g(\lambda)r_1(\lambda)]$. 从而

$$\begin{aligned} \deg g(\lambda)r_1(\lambda) &\ge \deg P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_1}(\lambda) \\ &= \deg P_{\text{min }\mathscr{A}}(\lambda) \\ &\ge \deg P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda) \\ &= \deg g(\lambda) R_2(\lambda). \end{aligned}$$

因此$\deg r_1(\lambda) \ge \deg R_2(\lambda)$，这与$r_1(\lambda)$的定义相矛盾，故我们一定有$r_1(\lambda)=0$. 因此$R_2(\mathscr{A})\alpha_2=0$，从而$P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)|R_2(\lambda)$，这说明$R_2(\lambda)=P_{\text{min }\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)$. 我们的断言得到了证明.

令$W_2=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_1+\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_2$。现在证明子空间的和为直和。

对于$\alpha\in W_1\cap\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_2$，可以设 $\alpha=P(\mathscr{A})\alpha_2$ 而

$$P_{\text{cond }W_1,\mathscr{A},\alpha_2}(\lambda)|P(\lambda)$$

故$P(\lambda)$是一个零化多项式，因此$\alpha=0$。这说明，子空间的和为直和。因此得到了子空间的直和

$$W_2=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_1\oplus\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_2$$

如果$W_2\neq{V}$，那么又取$\beta_3$使得

$$R_3(\lambda)=P_{\text{cond }W_2,\mathscr{A}}(\lambda)=P_{\text{cond }W_2,\mathscr{A},\beta_3}(\lambda)$$

按照上面的办法，我们可以将$\beta_3$调整为我们想要的$\alpha_3$，这里需要注意的是，我们需要写

$$\begin{aligned} R_3(\mathscr{A})\beta_3 &=Q_1(\mathscr{A})\alpha_1+Q_2(\mathscr{A})\alpha_2 \\ &=(R_2(\mathscr{A})h_1(\mathscr{A})\alpha_1+R_3(\mathscr{A})h_2(\mathscr{A})\alpha_2)+r_1(\mathscr{A})\alpha_1+r_2(\mathscr{A})\alpha_2 \end{aligned}$$

从而按照同样的办法证明$r_1=r_2=0$.

调整至$\alpha_1$后，我们得到子空间

$$W_3=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_1\oplus\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_2\oplus\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_3.$$

如此继续下去，如果$W_k\neq{V}$，则可继续选择$\alpha_{k+1}$等，直到得到

$$V=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_1\oplus\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_2\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_r$$

此即循环分解。导子的性质保证这个向量的选择可以进行下去。$V$是有限维的，所以这个过程总会结束。

不变因子与极小多项式

这一节我们来探讨一下上一节中得到的各个若干多项式。设$\alpha_k$对应的多项式为$m_k(\lambda)$。那么，根据导子的唯一性，这些多项式都是唯一的(被$\mathscr{A}$唯一决定)，而且已经得到了$m_k|m_{k-1}$这一关系。也就是说，对于指定的有限维度线性空间$V$和线性变换$\mathscr{A}$，(在顺序上)唯一决定了一组多项式$m_1,m_2,\cdots,m_r$。这组多项式称为$\mathscr{A}$的不变因子。

上面的证明中已经解释，$m_k$是$\alpha_k$的最小零化子。那么对于整个循环子空间$\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_k$又是怎样? 对于$\alpha\in\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_k$，可以设

$$\alpha = P(\mathscr{A})\alpha_k$$

那么

$$m_k(\mathscr{A})\alpha=m_k(\mathscr{A})P(\mathscr{A})\alpha_k=0$$

也就是说，$m_k$也是$\mathscr{A}$限制在$\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha_k$的极小多项式(次数不能再低，否则就不再是$\alpha_k$的零化子).

有理标准形与特征多项式

对域$\mathbb{F}$上任一方阵$A$，存在域$\mathbb{F}$上的可逆方阵$P$使得 $B=P^{-1}AP=\text{diag}(C(m_1),\cdots,C(m_r))$ 其中，$C(m_k)$是$m_k$的友阵，$m_k$是由$A$决定的线性变换$x\mapsto{Ax}$决定的线性变换的不变因子.

方阵$B$即为方阵$A$的有理标准形.

在这篇博客里我们指出，对于循环子空间$W=\mathbb{F}[\mathscr{A}]\alpha$，$\mathscr{A}$限制在$W$上的矩阵$A_W=C(m)$。这时我们选取了一组$W$上的循环基。现在，我们已经把一个线性空间分解成若干个循环子空间的直和，如果我们选择每个子空间的一组循环基，即得到有理标准形.

设$k_i=\text{deg }m_i$，则在对于基

$$\alpha_1,\mathscr{A}\alpha_1,\cdots,\mathscr{A}^{k_1-1}\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\mathscr{A}\alpha_r,\cdots,\mathscr{A}^{k_r-1}\alpha_r$$

而言，$\mathscr{A}$的方阵表示即为

$$A=\text{diag}(C(m_1),\cdots,C(m_r))$$

这里的$P$即为由这组基构成的矩阵。计算特征多项式不难发现有

$$f=m_1m_2\cdots m_r$$

一些补充

根据$f$和不变因子的关系，不难得到三条结论:

1. $V$是循环空间当且仅当$f=m$。也就是说，极小多项式和特征多项式相等。

2. $m|f$且$m$和$f$有相同的不可约因子(尽管次数可能不同)。也就是说，对于$f$可以唯一分解成不可约因子$f=p_1^{d_1}\cdots p_s^{d_s}$ 那么一定有正整数$r_1,\cdots,r_s$使得

   $$m=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}$$

   其中$0<r_i\leq d_i$。

3. 循环分解也成了Cayley-Hamilton的证明。因为$m|f$，所以特征多项式$f$一定是零化多项式。

循环分解的实例

求矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 0&-1&2&0 \\ -1&0&-2&0 \\ 0&0&-5&0 \\ 1&1&-2&1 \end{pmatrix}$$

的有理标准形，对$\mathbb{R}^4$进行循环分解

这是线性变换 $\mathscr{A}:x\mapsto{Ax}$在$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$下的方阵表示.

可以算出$f$的特征多项式和极小多项式为

$$f(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)(\lambda+5) \\ m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda+5)$$

这时其实已经完成了分解。因为不变因子已经被确定，也就是说，

$$m_1=\lambda^3+5\lambda^2-\lambda-5 \\ m_2=\lambda-1$$

那么有理标准形就有

$$B=\left(\begin{array}{c c c|c} 0&0&\textbf{5}&0 \\ 1&0&\textbf{1}&0 \\ 0&1&\textbf{-5}&0 \\ \hline 0&0&0&\textbf{1} \end{array}\right)$$

接下来我们要求可逆矩阵$P$。首先讨论子空间$\mathbb{R}[\mathscr{A}]\alpha_2$。对于$m_2=\lambda-1$，只需要取$A$属于特征值$1$的特征向量即可。不妨直接取$\alpha_2=(0,0,0,1)^T$.

对于另一个循环空间的生成元$\alpha_1$，只需要保证$\alpha_1,\mathscr{A}\alpha_1,\mathscr{A}^2\alpha_1,\alpha_2$线性无关(秩为$4$)，从而构成循环基，不妨取$\alpha_1=(1,1,1,1)^T$。此时$A\alpha_1=(1,-3,-5,1)^T$，$A^2\alpha_1=(-7,9,25,9)^T$。此时就得到矩阵

$$P=\begin{pmatrix} 1&1&-7&0 \\ 1&-3&9&0 \\ 1&-5&25&0 \\ 1&1&9&1 \end{pmatrix}$$

且

$$\mathbb{R}^4=\mathbb{R}[\mathscr{A}]{}(1,1,1,1)^T\oplus\mathbb{R}[\mathscr{A}] {}(0,0,0,1)^T$$

最后解释一下选择$\alpha_1$和$\alpha_2$的合理性(虽然完全可以验证$P^{-1}AP=B$)。已经知道,$m_k$一定是$\alpha_k$的最小零化子。对于$\alpha_2$，考虑 $ (A-I)\alpha_2=0 $ 即可。这刚好要求$\alpha_2$是$\mathscr{A}$关于特征值$1$下的特征向量。对于$\alpha_1$，因为$m=\lambda^3+5\lambda^2-\lambda-5$是最小零化子，所以$\alpha_1$，$\mathscr{A}\alpha_1$，$\mathscr{A}^2\alpha_1$必须线性无关，否则就说明此时$m_1$不是$\alpha_1$的最小零化子，这与$\mathbb{R}[\mathscr{A}]\alpha_1$的性质矛盾.