Riesz表示定理证明(三)

January 15, 2020
实分析/Real Analysis 泛函分析/Functional Analysis

证明第三部分

第七步: $\mathfrak{M}$是一个$X$中的$\sigma$-代数, 包含了所有的Borel集.

设$K$为$X$中的任一紧子集. 接下来会验证$\mathfrak{M}$符合$\sigma$-代数的几条性质. 这也就证明了(c).


对于全集$X$, 有$X\cap{K}=K\in\mathfrak{M}_F$, 从而$X\in\mathfrak{M}_F$.

对于$A\in\mathfrak{M}$, 现证$A^c\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$. 而根据$\mathfrak{M}$的定义, 这就说明了$A^c\in\mathfrak{M}$.

首先, 注意到 [ A^c\cap{K}=K-(A\cap{K}). ] 第二步里指出, $K\in\mathfrak{M}_F$, 根据$\mathfrak{M}$的定义, 对于$A$一定有$A\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$. 又根据第六步, $\mathfrak{M}_F$中的元素对于差集是封闭的, 也就是说$K-(A\cap{K})=A^c\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$.

又根据$\mathfrak{M}$的定义, 对于任意紧集$K$, 都有$A^c\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$, 从而$A^c\in\mathfrak{M}$.


对于$A_k\in\mathfrak{M}(k=1,2,\cdots)$, 需要证明$A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in\mathfrak{M}$. 令$B_1=A_1\cap{K}$, 对于$k>1$, 按下列方式定义: [ B_k=(A_k\cap{K})-\bigcup_{i=1}^{k-1}B_k ]

不难发现, $\{B_k\}$之间互不相交, 此外, 根据$\mathfrak{M}$的定义和第六步, 可以发现, $B_k\in\mathfrak{M}_F, k=1,2,\cdots$. 根据第四步又能得到, $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k=A\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$, 因此, $A\in\mathfrak{M}$. 因此, $\mathfrak{M}$是$X$上的$\sigma$-代数.


最后需要证明, $\mathfrak{M}$中有$X$所有的Borel集. 根据其定义, 只需要证明全体闭子集即可. 对于闭集$C\in{X}$, 因为$X$为Haudorff空间, $C\cap{K}$为紧集, 因此有$C\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$, 从而有$C\in\mathfrak{M}$. 因此, $\mathfrak{M}$有$X$所有的Borel集.

第八步: $\mathfrak{M}_F=\{E\in\mathfrak{M}:\mu(E)<\infty\}$

这说明了$\mathfrak{M}$和$\mathfrak{M}_F$之间的关系, 也证明了(e).

对于$E\in\mathfrak{M}_F$, 已经有了$\mu(E)<\infty$. 因此需要证明, $E\in\mathfrak{M}$.

根据第二步, 对任意紧集$K\subset{X}$有$K\in\mathfrak{M}_F$. 根据第六步, $E\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$. 因此$E\in\mathfrak{M}$.

现设$E\in\mathfrak{M}$且$\mu(E)<\infty$. 存在开集$V\supset{E}$使得$\mu(V)<\infty$(这样的$V$的存在性可以通过反证证明). 根据第三步, $V\in\mathfrak{M}_F$. 根据第五步, 对于$\varepsilon>0$, 存在紧集$K$使得$K\subset{V}\subset{V}$且有$\mu(V-K)<\varepsilon$. 又知道$E\cap{K}\in\mathfrak{M}_F$, 存在紧集$H\subset{E\cap{K}}$ 使得(如果对这里感到疑惑可见第二步) [ \mu(E\cap{K})<\mu(H)+\varepsilon ]

因为$E\subset(E\cap{K})\cup(V-K)$, 根据第一步和第五步, 有 [ \mu(E)\leq\mu(E\cap{K})+\mu(V-K)<\mu(H)+2\varepsilon ]

这就说明了$E\in\mathfrak{M}_F$.

第九步: $\mu$是$\mathfrak{M}$上的测度

对于可列可加性只需要看第四步和第八步. 第四步中讨论了对于$\mu(E_i)<\infty$的情况, 对于$\mu(E)=\infty$的情况只需考虑$\mathfrak{M}$和$\mathfrak{M}_F$的关系即可, 这就是第八步所解决的问题.

第十步: 对于任意$f\in C_c(X)$, 成立等式$\Lambda{f}=\int_{X}fd\mu$

证明完之后Riesz表示定理所有内容都得到了证明.

不难发现, 只需要对实函数进行证明; 而且, 在通过不等式进行证明时, 只需要证明 [ \Lambda{f}\leq\int_{X}fd\mu ]

等式的另一部分只需要考虑到$\Lambda$的线性性质和Lebesgue积分的线性性质, 能得到 [ -\Lambda{f}=\Lambda{-f}\leq\int_{X}-fd\mu=-\int_{X}fd\mu ]

接下来需要考虑$f$的连续性. 设$K$为$f$的紧支集, 又可以知道$f$的值域$E$为紧集, 不妨设$E\subset[a,b]$. 对$\varepsilon>0$, 设$\{y_i\}$满足$y_{i+1}-y_i<\varepsilon$且有 [ y_0<a<y_1<\cdots<y_n=b ] 又令 [ E_i=\{x:y_{i-1}<y\leq{y_i}\}\cap{K}\quad(i=1,\cdots,n) ]

又可以知道$f$为Borel可测函数, 因此$\{E_i\}$为互不相交的Borel集且$\cup{E_i}=K$. 存在开集$V_i\supset{E_i}$使得对$x\in{V_i}$有$f(x)<y_i$, 而且 [ \mu(V_i)<\mu(E_i)+\frac{\varepsilon}{n}\quad(i=1,\cdots,n) ]

对$K$进行”1的分割”, 存在函数$h_i\prec{V_i}$使得在$K$上有$\sum{h_i}=1$. 因此有$f=\sum h_if$. 根据第二步, [ \mu(K)\leq\Lambda(\sum h_i)=\sum\Lambda{h_i} ]

接下来需要用到做的$\varepsilon$分割. 在Borel集$E_i$上, 首先有$h_if\leq(y_i+\varepsilon)h_i$, 又考虑到$y_i-y_{i-1}<\varepsilon$, 又有$f(x)>y_i-\varepsilon$. 结合这两点, 首先能得到 [ \Lambda{f}=\sum_{i=1}^{n}\Lambda(h_if)\leq\sum_{i=1}^{n}(y_i+\varepsilon)\Lambda{h_i}=\sum_{i=1}^{n}(|a|+y_i+\varepsilon)\Lambda{h_i}-|a|\sum_{i=1}^{n}\Lambda{h_i} ]

考虑到$\mu(V_i)$的定义以及$\sum\Lambda{h_i}\geq\mu(K)$, 又有 [ \Lambda{f}\leq\sum_{i=1}^{n}(|a|+y_i+\varepsilon)\left(\mu(E_i)+\varepsilon/n\right)-|a|\mu(K) ] 接下来, 利用$\mu(K)=\sum\mu(E_i)$, 上式变形为 [ \Lambda{f}\leq\sum_{i=1}^{n}(y_i-\varepsilon)\mu(E_i)+2\varepsilon\mu(K)+\frac{\varepsilon}{n}\sum_{i=1}^{n}(|a|+y_i+\varepsilon) ] 最后根据Lebesgue积分的定义, 注意在$E_i$上有$f(x)>y_i-\varepsilon$, 能得到 [ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\varepsilon)\mu(E_i)+2\varepsilon\mu(K)+\frac{\varepsilon}{n}\sum_{i=1}^{n}(|a|+y_i+\varepsilon)\leq\int_{X}fd\mu+\varepsilon\left(2\mu(K)+|a|+b+\varepsilon\right) ]

考虑到$\varepsilon$的任意性, 此即 [ \Lambda{f}\leq\int_{X}fd\mu ] Riesz表示定理证明完毕.

一些需要加强的部分

不难发现这个证明过程虽然已经很完善, 还是有些缺陷. 外正则是直接通过构造证明出来的, 但是内正则只证明了开集和$\mathfrak{M}_F$中的集合. 其实这已经到了极限了, 因为确实有合适的反例阻止我们. 但是, 对条件进行稍微加强就能得到更合适的内外正则. 在这时需要引入$\sigma$-紧的概念. 这又是以后的博客会讲的内容了. 当然这一切都是为了合理地引入Euclidean空间的重要测度——Lebesgue测度——做准备.


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