Riesz表示定理简单介绍

November 9, 2019
实分析/Real Analysis 泛函分析/Functional Analysis

寻找函数的”矩阵”

在学习线性代数时, 一个很基本的问题得到了解决: 将线性变换和矩阵一一对应. 也就是说有如下定理:

设$\mathscr{A}:V_1\to V_2$为域$F$上线性空间$V_1$到$V_2$的线性映射. 在$V_1$和$V_2$中分别选取有序基$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$和$\beta_1,\cdots,\beta_m$之后, 以$\mathscr{A}\alpha_1,\cdots,\mathscr{A}\alpha_n$的坐标列为列作矩阵$A$, 也就是说

[\mathscr{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_m)A]

则对任意$\alpha\in{V_1}$, $\beta\in{V_2}$, $\mathscr{A}\alpha=\beta$当且仅当$Ax=y$. 其中$x,y$分别是$\alpha,\beta$的坐标列, $A$称为$\mathscr{A}$的坐标表示.

现在考虑Lebesgue积分构成的线性变换

[     \Lambda: f\mapsto\int_{I}fd\mu ]

这时, 积分运算是一个线性泛函. 但是这个说法能不能反过来? 也就是说, 对于一个线性泛函$\Lambda$, 能不能找到一个测度$\mu$从而计算Lebesgue积分? 线性代数里给一个线性变换找到了一个矩阵, 找到了计算的依据. 如果能找到这个Lebesgue积分的$\mu$, 那么至少理论上也能找到计算的依据. Riesz表示定理指出, 这是可行的, 而且找到的测度具有一系列特殊性质.

Riesz表示定理(关于$C_c(X)$上线性泛函)

泛函分析中有多个有名的定理以匈牙利数学家Riesz Frigyes命名. 这里提到的是$C_c(X)$上的线性泛函中的表示定理:

设$X$是一个局部紧的Hausdorff空间, $\Lambda$是$C_c(X)$上的一个正线性泛函, 则有且仅有一个正测度$\mu$能表示$\Lambda$, 且满足如下性质

    (a)对所有$f\in{C_c(X)}$,有$\Lambda{f}=\int_{X}fd\mu$.

    (b)对任意紧集$K\subset{X}$, 有$\mu(K)<\infty.$

此外, 在$X$中还存在一个$\sigma$-代数$\mathfrak{M}$, 满足以下性质

    (c)$\mathfrak{M}$包含$X$中所有的Borel集

    (d)对于所有的$E\in\mathfrak{M}$, 有[\mu(E)=\inf\{\mu(V):E\subset{V}, V是开集\}.](此时如果$E$为Borel集合, 那么$E$称为外部正则)

    (e)对于所有的开集$E$, 以及所有满足$E\in\mathfrak{M}$且$\mu(E)<\infty$的集合, 下列等式成立: [\mu(E)=\sup\{\mu(K):K\subset{E},K是紧集\}.](此时如果$E$为Borel集合, 那么$E$称为内部正则)

    (f)如果$E\in\mathfrak{M}$, $A\subset{E}$, 且$\mu(E)=0$, 那么$A\in\mathfrak{M}.$

如果所有$X$中的Borel集合都是外部正则且内部正则的, 那么这个测度$\mu$就是正则的.

总结一下, 对于定义在一个局部紧Haudorff空间上的一个线性泛函, 我们能将其转换成一个计算Lebesgue积分的过程. 这就好比线性空间中线性映射和矩阵的对应关系. 如果找到了矩阵, 那么计算就变成了可能. 如果找到了测度, 那么线性泛函的计算也变成了可能.

值得注意的还有, 线性泛函和测度是一一对应. 这个的证明只需要借助Urysohn引理. 其余几条的证明会在$\mu$和$\mathfrak{M}$的逐步分析中证明出来.

至于”正线性泛函”, 可以这样理解. 如果$f(X)\in[0,+\infty)$, 那么$\Lambda f\in[0,+\infty).$

符号解释和Urysohn引理

函数的支集和$C_c(X)$

一个函数的支集(记作$supp(f)$)就是就是指这个函数取值不为$0$的集合. 严格地说, 一个定义在拓扑空间$X$上的复函数的支集(support)是指的下面这个集合的闭包:

[     \{x:f(x)\neq 0\} ]

而$C_c(X)$是一个函数的集合. 这里的$C$指的是Continuous, $c$指的是compact. 它代表了所有定义在$X$上且支集是紧集的全体函数.

Borel集合

对于一个拓扑空间$X$, 存在一个最小的$\sigma$-代数$\mathscr{B}$使得所有$X$中的开集属于$\mathscr{B}$. $\mathscr{B}$中的集合就被称为Borel集合.

根据$\sigma$-代数的定义, 所有的闭集都属于$\mathscr{B}$. 这是因为开集的补集是闭集(反之亦然), 而如果$A\in\mathscr{B}$, 那么$A^c\in\mathscr{B}$. 同样, 所有开集的可数交集(记为$G_\delta$), 所有闭集的可数并集(记为$F_\sigma$), 都是$\mathscr{B}$的成员. 这里为了避免产生歧义, 有必要再申明一下. $F_\sigma$中的成员是一些集合, 每一个集合都是可数个闭集的并集.

局部紧的Hausdorff空间

Hausdorff空间是指的这样的空间$X$. 如果$p\in{X}$, $q\in{X}$, 而且$p\neq{q}$, 那么$p$和$q$分别存在一个邻域$U_p$和$U_q$使得$U_p\cap{U_q}=\varnothing$.

紧集是指的这样一个集合$K$, 如果${V_\alpha}$满足$\bigcup_\alpha V\alpha\supset{K}$, 那么${V_\alpha}$中必定存在有限个集合包含$K$. 在$\mathbb{R}^k$中, 如果一个集合是紧集, 那么它一定是有界闭集.

局部紧是指$X$满足这样的一条性质: 每个$X$中的点都有一个邻域, 这个邻域的闭包是紧集.

Urysohn引理

设$X$是一个局部紧的Hausdorff空间, $V$是$X$中的开集, 且有紧集$K$满足$K\subset{V}$, 那么存在一个函数$f\in C_c(X)$满足$k\prec f \prec V$.

$K\prec f$是指$0\leq f \leq 1$, 且对所有$x\in{K}$, $f(x)=1$. $f\prec V$指的是,$0\leq f\leq 1$, 且$supp(f)\subset V$. 如果考虑特征函数$\chi_K$和$\chi_V$, 那么有不等式

[     \chi_K\leq f\leq \chi_V ]

$\mu$的唯一性

不妨设这个$\mu$存在(接下来会一步一步构建这个$\mu$并且验证它满足所有性质). 这时只需要证明, 如果$\mu_1$和$\mu_2$满足上面的性质, 那么对于所有的紧集$K$, 都有$\mu_1(K)=\mu_2(K)$. 这是因为, 考虑到(d)和(e), $\mu(E)$的在$\mathfrak{M}$上的值被紧集的值唯一确定了.

对于紧集$K$和$\varepsilon>0$, 选取开集$V$使得$\mu_2(V)<\mu_2(K)+\varepsilon$. 根据Urysohn引理, 存在函数$f$使得$\chi_K\leq f\leq \chi_V$. 从而有

[     \begin{aligned}         \mu_1(K)&=\int_{X}\chi_Kd\mu_1\leq \int_{X}fd\mu_1=\Lambda f=\int_{X}fd\mu_2 \\
        &\leq \int_{X}\chi_Vd\mu_2=\mu_2(V)<\mu_2(K)+\varepsilon     \end{aligned} ]

从而有$\mu_1(K)\leq\mu_2(K)$. 同理还可以得到$\mu_2(K)\leq\mu_1(K)$. 因此有 $\mu_1(K)=\mu_2(K)$. 这说明, $\mu$是唯一的. 正线性泛函和测度是一一映射的.

$\mu$和$\mathfrak{M}$的构建

对于开集$V\subset{X}$, 定义

[     \mu(V)=\sup\{\Lambda f:f\prec V\} ]

如果$V_1\subset V_2$, 那么有$\mu(V_1)\leq \mu(V_2)$. 也就是说, 如果以”包含”为一个序, 那么$\mu$是单调的. 一个测度是必定满足这个条件的. 当然之后还要证明$\mu$满足测度的其他条件. 这时$E$的外部正则就很明显了:

[     \mu(E)=\inf\{\mu(V):E\subset V, V为开集\} ]

注意, 这里的$E$是开集, 又考虑到$\mu$的单调性, 对于$E\subset V$, $\mu(E)$就应该是这样一个下界了.

对于$\mathfrak{M}$, 首先定义$\mathfrak{M}_F$表示所有$X$的子集$E$, 其中$E$是内部正则的, 也就是说

[     \mu(E)=\sup\{\mu(K):K\subset{E},K是紧集\} ]

然后再令$\mathfrak{M}$表示所有$X$的子集$E$, 使得对于所有$X$的紧子集$K$, 满足$E\cap K \in \mathfrak{M}$.

重新整理一下构建的思路: 首先, 利用线性泛函的运算求出$\mu$, 发现这时开集都是外部正则的. 再把所有内部正则的集合进行加工构成$\mathfrak{M}_{F}$.

接下来的工作就是证明这个构建能满足那几条性质了. 但在这篇博客里就不再展开了. 证明确实是很困难很长的. 我想把它放在下篇博客里. 这确实是一个很费头脑的工作, 我也不想简单地将书上的内容抄一遍. 但是博客的最后, 我觉得有必要介绍一下Riesz表示定理的原始版本, 也就是Riesz在1909年最初发表的定理.

Riesz表示定理的黎曼-斯蒂尔杰斯积分表示

Étant donnée l’opération $A[f(x)]$ , on peut déterminer la fonction à variation bornée $\alpha(x)$, telle que, quelle que soit la fonction eontinue $f(x)$, on ait $A[f(x)]=\int_{0}^{1}f(x)d\alpha(x)$.

这里的区别在于, 完整版是要求是局部紧的Haudorff空间, 最初只是要求是区间$[0,1]$. 而且Riesz最初提出的是黎曼-斯蒂尔杰斯积分的表示, 而不是勒贝格积分. 这里的$\alpha(x)$要求是有阶差分.

从黎曼-斯蒂尔杰斯积分进化到勒贝格积分, 也可以进一步理解斯蒂尔杰斯积分中的$\alpha$和测度. 测度是一个变量为集合的函数, 而$\alpha$将均匀的长度$x$变成了加权分配的长度$\alpha(x)$. 那么可不可以把测度看成一个加权分配的体积, 或者把$\alpha$看成一种更有独特意义的函数呢? 当然具体还得看Riesz表示定理经过的发展, 但我觉得这样的思考类比还是很有意义的.


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