利用隐函数存在定理解决解析几何问题

October 17, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 解析几何/Analytical Geometry

最近在研究往年CMC试题时, 发现官方答案里解决空间曲面的相切问题, 总是选择一种很不方便的办法: 求参数方程, 然后得到一个可能很长很长的二次方程, 最后利用只有一个二重根这个性质解决. 这种办法非常值得诟病的地方很多. 先不谈可能产生的巨大的计算量, 设出合理的参数方程本身就是比较困难的一件事情. 但是, 我们已经掌握了微积分这个工具, 为什么还要把自己局限在一两千年前呢?

微积分理论依据

二元函数决定的曲面在某点的切平面

如果函数$f$在点$(x_0,y_0)$可微, 则曲面$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的切面方程为 [ z-z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) ]

这个方程也可以写成 [ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0 ]

根据平面的点法式方程(通过某点和某个法向量决定一个平面), 可以发现, 这个平面的法向量为 [ \overrightarrow{\mathbf{n}}=(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1) ]

这个平面的论证过程是比较长的, 在这里就不深入探究了. 当然我们接下来探讨的曲面肯定都是满足可微条件的.

隐含数组存在定理

有些曲面方程很难表示成$z=f(x,y)$的形式, 或者说根本写不出初等函数的形式. 这个时候就需要利用隐函数存在定理了. 虽然得不到这个方程的最简单的表达, 但是还是可以很轻松地求出法向量.

设曲面由方程 [ F(x,y,z)=0 ] 给出, 切点为$(x_0,y_0,z_0)$. 这个方程可以理解成$F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$. 设$F$在某邻域内满足隐函数定理条件(当然接下来要讨论的函数都满足), 不妨设$\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\neq 0$. 于是上面的方程唯一确定了连续可微的隐函数$z=f(x,y)$使得$z_0=f(x_0,y_0)$, 而且有 [ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z} ]

且在这一点附近由$F=0$和$z=f(x,y)$确定的曲面是一致的. 利用上面指出的二元函数在某点的切平面方程, 就能得到 [ -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0 ]

整理之后就能得到 [ \frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 ]

且在这一点的法向量为 [ \overrightarrow{\mathbf{n}}=(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)) ]

这几个式子也是很好理解的. 导数在几何上指出了曲线某点切线的斜率, 多元函数里也可以把三个偏导看成三个方向的斜率, 从而很自然地刻画了切面.

几个问题的解决

设$S$是空间中的一个椭球面, 设方向为常向量$\overrightarrow{\mathbf{v}}$的一束平行光线照射$S$, 其中部分光线与$S$相切, 它们的切点构成曲线$\Gamma$. 求证: $\Gamma$落在了一个平面上, 这个平面必定经过椭球的中心.

我想这个题是很容易理解的, 但是很难下手. 如果利用二次方程解决, 那么解决的时候可能会面对比较庞大的计算量, 然后还要分析出怎么得到二次方程只有一个根, 又是一番计算量. 另一种方法是仿射变换. 这样做需要一定量的文字论述, 思维跳跃也比较大.

如果利用微积分的办法, 解决方案变得很单纯: 求出某点的切平面或者法向量, 再利用已知条件对切点进行限制, 就离问题的答案很近了. 这个题如果将切点限制出来, 再对切点满足的另一个方程进行分析, 就基本解决问题了. 解决过程如下:


不妨设椭圆方程为 [ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(a,b,c>0) ]

这个曲面由方程 [ F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0 ]

决定. 利用隐函数存在定理可以求出曲面上任意一点$(x,y,z)$的切平面 [ \overrightarrow{\mathbf{n}}=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})=(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}) ]

设$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(m,n,p)$, 则$\Gamma$上的点满足$\mathbf{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}=0$, 能得到 [ \frac{2mx}{a^2}+\frac{2ny}{b^2}+\frac{2pz}{c^2}=0 ]

这恰好是一个过原点的平面, 而原点就是椭球的中心. 证毕.


这里进行了哪些运算? 简单的求导、向量乘法. 没了. 是否比写二次方程简单多了? 其实这个地方的相切是比较规则的, 仅仅涉及了一个方向, 而且还可以过原点. 下面的一个决赛题, 就是一个不规则的相切问题.

在空间直角坐标下, 设有椭球面[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(a,b,c>0)], 及$S$外部一点$A(x_0,y_0,z_0)$. 过点$A$与$S$相切的所有直线构成锥面$\Sigma$, 证明: 存在平面$\Pi$, 使得交线${S\cap\Pi}={S\cap\Sigma}$, 并求出$\Pi$的方程.

这个题也是说, 切点被限制在一个平面上了. 但是, 这个点$A$是不确定的, 所以锥面很有可能是不规则的(比如不一定对称), 这个时候利用二次方程是非常非常繁琐的. 得到的参数方程满足的等式是这样的(你肯定不想见到): [ (1+\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}-2(\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}))t^2+2(1-\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2})t=0 ] 但是这是这个方程的最简形式, 之前的步骤中得到的式子长什么样我反正不想敲成代码. 但是利用微积分这个工具, 就不会有这么麻烦了.


$S$上某点$P(x,y,z)$的一个法向量是 [ \overrightarrow{\mathbf{n}}=(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}) ] 如果$P$在交线上, 那么一定有$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{\mathbf{n}}=0$. 也就是说, [ \frac{x}{a^2}(x-x_0)+\frac{y}{b^2}(y-y_0)+\frac{z}{c^2}(z-z_0)=0 ] 这个式子表征了$P\in\Sigma$. 再利用已知条件$P\in{S}$: [ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 ]

将这两个式子整理, 得到对于$P\in{S\cap\Sigma}$, 有 [ \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}=1 ]

这确定了一个平面$\Pi$. 因此$P\in\Pi$, 从而有$P\in{S\cap\Pi}$.

最后, 需要证明, 如果$P\in{S\cap\Pi}$, 那么$P\in{S\cap\Sigma}$.

这个关系成立是因为有等式 [ \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 ]

而这恰好和$P\in{S\cap\Sigma}$时的表达式 [ \frac{x}{a^2}(x-x_0)+\frac{y}{b^2}(y-y_0)+\frac{z}{c^2}(z-z_0)=0 ] 等价. 综上, ${S\cap\Pi}={S\cap\Sigma}$. 其中 [ \Pi: \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}=1 ]


这个解决方法中最难的过程是哪步? 我想最多是化简等式吧. 但这绝对比最开始那个超长的二次方程简单多了.

最后是一道预赛题, 如果能掌握这种解决办法, 其实下面这个题很简单, 具体求解过程就不深入了.

设$\Gamma: z = 3x^2+4y^2+1$. 从原点作$\Gamma$的切锥面, 求切锥面方程.

解决方案大致如下: 求出每点切平面方程, 再限制出仅过原点的点, 得到切锥面和$\Gamma$的交线方程. 最后利用锥面上的点一定可以放缩到切点上这个性质求出锥面方程.


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