优美的Fourier级数(六): Poisson核的一致收敛

September 27, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Fourier分析/Fourier Analysis 优美的Fourier级数

这篇文章里我会尝试完成对“Poisson核是好核”的论证. 再往后会涉及到许多更深入的内容, 远远超出了我想讲的范围. 分析完这三个函数核之后, 我会回过头来分析一些更基本的内容. 这篇文章里更多是一些不等式的运算技巧, 以及一些简单的延伸. 希望这些方法对各位有所帮助.

Poisson核的两种形式

之前说过, Fejér核是对Dirichlet核进行Cesàro意义下的求和. Poisson核的构建和Fejér核类似, 也是通过对Dirichlet核进行非常规求和: [ P_r(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{int}\quad 0\leq r<1, t\in\mathbb{R} ]

可以把它看成一个关于$r$和$t$的二元函数, 也可以看成一族关于$t$的函数, 以$r$为索引.

有的时候核函数指数函数形式很方便, 有的时候三角函数形式很方便. 这个函数的三角函数形式可以通过类似于Dirichlet核的方式得到(会利用欧拉公式): [ \begin{aligned} P_r(t)&=\sum_{n=0}^{\infty}r^ne^{int}+\sum_{n=1}^{\infty}r^ne^{-int} \\
&=\frac{1}{1-re^{it}} + \frac{re^{-it}}{1-re^{-it}} \\
&=\frac{(1-re^{-it})+re^{-it}(1-re^{it})}{(1-re^{it})(1-re^{-it})} \\
&=\frac{1-re^{-it}+re^{-it}-r^2}{1+r^2-r(e^{it}+e^{-it})} \\
&=\frac{1-r^2}{1+r^2-2\cos{t}} \end{aligned} ]

接下来会充分利用这个函数的两种形式来论证这是好核.

Poisson核也是好核

归一化

如果要直接计算$\int_{0}^{2\pi}\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos{t}}dt$, 那就太麻烦了. 这个积分的运算可能很巧妙……反正我不会. 实际上也没必要利用什么刁钻的技巧. 如果利用指数函数形式, 这个积分是很简单的.

对于任意的非$0$整数$n$, 会有$\int_{0}^{2\pi}e^{int}dt=0$(为什么?), $e^{0ix}=1$, 所以有$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{0it}dt=1$. 将Poisson核分成$n=0$和$n\neq{0}$两部分, 就能很自然地得到 [ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r(t)dt=1 ]

(回过头来想, 如果你以前不会算$\int_{0}^{2\pi}\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos{t}}dt$, 现在会了吧!)

两翼收敛和有界性

首先要指明的一点是, 这个函数核是好核, 对应的不是$n\to\infty$时的一致收敛, 而是$r\to{1}$时的一致收敛. 用数学符号表示, 应该是对于连续函数$f(x)$, [ \lim_{r\to 1}|f(x)-\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\pi}f(x-t)P_r(t)dt|=0 ] 对所有$x$成立.

首先, 利用函数的单调性可以发现, 对于$P_r(t)$, 有 [ \begin{aligned} P_r(t)&=\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos{t}} \\
&\geq \frac{1-r^2}{1+r^2+2r} \\
&= \frac{1-r}{1+r} \\
&\geq 0 \end{aligned} ]

所以这个函数和Fejér核一样, 都是非负的. 又知道这个函数的积分在$[-\pi,\pi]$的值是确定的, 所以绝对值(其实也就是本身)的有界性得到了证明.

至于两翼的收敛, 再利用单调性. 不难发现, $0<\delta\leq|t|\leq\pi$时(注意这个函数在$[0,\pi]$递减, 还是个偶函数) [ P_r(t)\leq P_r(\delta) ]

当$\delta$固定时, 又有 [ \lim_{r\to 1}P_r(\delta)=0 ]

两翼收敛的情况可以通过”三明治定理”分析得到: [ \begin{aligned} \lim_{r\to 1}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}|P_r(t)|dt&\leq \lim_{r\to 1}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}|P_r(\delta)|dt \\
&=2(\pi-\delta)\lim_{r\to 1}P_r(\delta) \\
&=0 \end{aligned} ] 而第一个式子又是非负的, 所以 [ \lim_{r\to 1}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}|P_r(t)|dt=0 ]

所以说, Poisson核是好核.


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