对伽玛函数进一步的认识——Bohr-Mollerup定理

September 24, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Gamma函数

[ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt ]

这个函数总是在不经意间出现在各种不同的领域, 比如前面讲到的n维球体积, 再比如概率论中的伽玛分布等等. 但它本身也有很多值得研究的性质, 分析的过程中涉及到各种平凡而又巧妙的分析办法. 这些分析方法本身就是很有价值的. 这篇文章要指出的是, 根据Bohr和Mollerup的研究, 函数的几个性质是它独享的. 也就是说,

(Bohr-Mollerup定理)如果一个定义在$(0,\infty)$上的函数满足以下三条性质:

  • $f(x+1)=xf(x)$

  • $f(1)=1$

  • $\log{f}$ 是凸函数

那么$f(x)=\Gamma(x)$

当然首先需要证明一件事情, $\Gamma(x)$满足这三条性质(前两条可以通过分部积分和直接代入$1$进行验证).

$\log\Gamma(x)$是凸函数

凸函数是指满足 [ f(\lambda{x}+(1-\lambda)y)\leq \lambda{f(x)}+(1-\lambda)f(y) ] 的一类函数. 其中$0<\lambda<1$.

但是如果直接用$\log\Gamma(x)$进行运算, 那会是很困难的. 考虑到$\Gamma(x)$是反常积分的形式, 还可以用到Hölder不等式(这个不等式对反常积分也成立): [ \left|\int_{a}^{b}fgdx\right|\leq\left(\int_{a}^{b}|f|^pdx\right)^{1/p}\left(\int_{a}^{b}|g|^qdx\right)^{1/q} ] 其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. 这自然可以与$\lambda$和$1-\lambda$联系起来. 那么需要讨论$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}$: [ \begin{aligned} \Gamma(\frac{x}{p}+\frac{y}{q})&=\int_0^{\infty}t^{\frac{x}{p}+\frac{y}{q}-1}e^{-t}dt \\
&=\int_0^{\infty}t^{\frac{x}{p}+\frac{y}{q}-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}e^{-t(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})}dt \\
&=\int_0^{\infty}\left(t^{x-1}e^{-t}\right)^{\frac{1}{p}}\left(t^{y-1}e^{-t}\right)^{\frac{1}{q}}dt \end{aligned} ] 另一侧有 [ \begin{aligned} \Gamma(x)^{\frac{1}{p}}=\left(\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\right)^{\frac{1}{p}} \end{aligned} ] 以及 [ \begin{aligned} \Gamma(y)^{\frac{1}{q}}=\left(\int_0^{\infty}t^{y-1}e^{-t}dt\right)^{\frac{1}{q}} \end{aligned} ] 结合起来, 就有 [ \Gamma(\frac{x}{p}+\frac{y}{q})\leq\Gamma(x)^{\frac{1}{p}}\Gamma(y)^{\frac{1}{q}} ]

再取对数, 就离结论很近了: [ \log\Gamma(\frac{x}{p}+\frac{y}{q})\leq\frac{1}{p}\log\Gamma(x)+\frac{1}{q}\log\Gamma(y) ]

又因为$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 所以能得到, $\log\Gamma(x)$是凸函数.

Bohr-Mollerup定理的证明——两种方法得到Euler-Gauss公式

在进行Bohr-Mollerup定理之前, 有必要得到$\Gamma$函数的另一种形式, Euler-Gauss公式. 这个公式的推导方法有很多, 涉及到各种基本技巧: 分部积分、换元、极限等等. 我在这里选择了最平凡的一种方法, 利用大家都熟悉的极限:$e=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$. 这些推导过程本身也是很好的微积分练习题.

递归法证明Euler-Gauss公式

我们已经知道, [ e^{-t}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{t}{n})^n ]

定义二元函数 [ \Gamma(x,n)=\int_{0}^{n}t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^ndt ]

那么很明显, 有极限 [ \Gamma(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\Gamma(x,n) ]

接下来继续讨论二元函数. 进行换元. 令$t=ns$, 那么会有 [ \Gamma(x,n)=n^{x}\int_{0}^{1}s^{x-1}(1-s)^nds ]

对于最小的$n=1$, 有 [ \Gamma(x,1)=\frac{1}{x(x+1)} ]

对于$n>1$, 需要进行分部积分. [ \begin{aligned} \Gamma(x,n)&=n^{x}\int_{0}^{1}s^{x-1}(1-s)^nds \\
&=\frac{n^{x}}{x}\int_{0}^{1}(1-s)^nds^{x} \\
&=\frac{n^{x}}{x}n\int_{0}^{1}s^{x}(1-s)^{n-1}ds \\
&=\frac{1}{x}(\frac{n}{n-1})^{x+1}\Gamma(x+1,n-1) \end{aligned} ]

知道了$\Gamma(x)$中$n$的体现形式, 就可以进行递归化简了. 从$n$到$1$, 递归了$n-1$次, 那么最后一项是$\Gamma(x+n-1,1)$.

[ \begin{aligned} \Gamma(x,n)&=\frac{1}{x}(\frac{n}{n+1})^{x+1}\Gamma(x+1,n-1) \\
&=\frac{1}{x}(\frac{n}{n+1})^{x+1}\left(\frac{1}{x+2}(\frac{n-1}{n-2})^{x+2}\Gamma(x+2,n-2)\right) \\
&\cdots\cdots \\
&=\frac{n^xn!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} \end{aligned} ]

又考虑到$\Gamma(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\Gamma(x,n)$, 能得到

[ \Gamma(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} ]

这就是所谓的Euler-Gauss公式.

Bohr-Mollerup定理

在进行证明之前, 我们先理一下要完成的工作. $\Gamma(x)$已经满足了这三个条件, 那么只需要证明, 给定这三个条件, 得到的函数是唯一的就行了, 这其实也就是得到Euler-Gauss公式. 而$f(x+1)=xf(x)$这个性质表明, 只需要讨论$(0,1)$上的性质即可.

接下来, 令$\phi(x)=\log{f(x)}$, 并将这三个条件逐个代入

首先, 利用第二个性质, 容易得到 [ \phi(x+1)=\log{f(x+1)}=\log{xf(x)}=\log{f(x)}+\log{x} ]

考虑到$f(1)=1$, 可以立即得到 [ \phi(n+1)=\log{n!} ]

以及 [ \phi(n+1+x)=\phi(x)+\log[x(x+1)\cdots(x+n)] ]

对$x\in(0,1)$(在最开始已经限制了), 最后利用凸函数的性质 [ \frac{\phi(n+1)-\phi(n)}{(n+1)-n}\leq\frac{\phi(n+1+x)-\phi(n+1)}{(n+1+x)-(n+1)}\leq\frac{\phi(n+2)-\phi(n+1)}{(n+2)-(n+1)} ]

再利用前面得到的三个等式, 能得到 [ \log{n}\leq\frac{\phi(x)+\log[x(x+1)\cdots(x+n)]-\log{n!}}{x}\leq\log(n+1) ]

接下来的操作比较有技巧性. 每个不等式同时乘以$x$减去$\log{n}$, 能得到 [ 0\leq\phi(x)-\log{\frac{n!n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}}\leq x\log(1+\frac{1}{n}) ]

考虑到$\log{x}$的连续性, $n\to\infty$时, $\phi(x)-\log{\frac{n!n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}}\to 0$, 这也就是说, [ \phi(x)=\log\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\right)=\log\Gamma(x) ]

定理得到证明.

我们能从中看到什么

Bohr-Mollerup定理无疑提供了一个证明一个函数是不是$\Gamma(x)$函数的重要途径. 比如为了证明 [ B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} ]

可以令$f(x)=\frac{B(x,y)\Gamma(x+y)}{\Gamma(y)}$, 再分析$f(x)$是否满足那三个条件. 再比如Legendre加倍公式 [ \Gamma(2x)=\frac{2^{2x-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(x)\Gamma(x+\frac{1}{2}) ]

如果利用Bohr-Mollerup定理, 证明过程是非常简单的.

Euler-Gauss公式和Bohr-Mollerup定理的证明过程可能比较刁钻, 比较困难, 但是一点点分解整个过程, 得到的还是一系列平凡的技巧. 这也体现了很重要的一点: 如何利用已知的条件, 进行加工, 严格而又不失激情地发现未知的事物(或者证明未被证明的问题).


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