伽玛函数两个有趣的应用

September 18, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Gamma函数

前言

介绍$n$维球体积时, 我们引入了一个很重要的函数: [ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt ]

并且用它和$B(x,y)$对三角函数积分进行大幅度简化. 但这只是$\Gamma$函数诸多性质的一部分. 这个函数经常出现在分析学中很多让人意想不到的场合. 今天我会试着整理一些这个函数两个很常用的应用.

欧拉-泊松积分$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$到底怎么算?

很遗憾, $\int e^{-x^2}dx$不是一个初等函数, 不能写成一个”原函数”. 但是它的值是可以算的. 介绍$n$维球体积时我说, 算出$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$, 离算出$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$已经很近很近了. 在这里我会给出计算办法.

只需要令$t=s^2$, 代入$\Gamma$的方程即可. 此时有 [ \Gamma(x)=2\int_0^{\infty}s^{2x-1}e^{-s^2}ds ]

看到$2x-1$, 你会想到什么? 没错, 这个$s$可以消去一个! 代入$\frac{1}{2}$, 就有 [ \Gamma(\frac{1}{2})=2\int_{0}^{\infty}e^{-s^2}ds=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s^2}ds=\sqrt{\pi} ]

至此, 欧拉-泊松积分的计算得到解决. 当然解决办法还有很多, 但这种算法是离$\Gamma$函数最近的.

Stirling公式, 分析$n!$的有力工具.

Stirling公式是对$\Gamma$函数在$x$足够大时的估计: [ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\Gamma(x+1)}{(x/e)^x\sqrt{2\pi x}}=1 ]

对于正整数$n$, 利用$\Gamma$函数的阶乘性质, 也可以得到 [ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\Gamma(n+1)}{(n/e)^n\sqrt{2\pi n}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{n!}{(n/e)^n\sqrt{2\pi n}}=1 ]

这个命题的证明是比较困难的. 我在先这里会给出一些简单应用. Stirling公式说明了一件事情: $n!$和$(n/e)^n\sqrt{2\pi n}$是等价无穷大. 所以在计算一些$\frac{\infty}{\infty}$类型的极限时, 可以直接利用这个关系, 将$n!$这一项替换掉, 从而得到一些意想不到的简化. 下面是一个经典的例子:

求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}$

[ \begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n/e)^n\sqrt{2\pi n}}{n^n} \\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n} \\
&=0 \end{aligned} ]


如果您或您的朋友在Pocket等网站阅读本文, 建议使用“阅读原文”功能, 否则可能无法看到由Mathjax生成的数学公式

欧拉反射公式和利用Fourier级数的证明

October 31, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Fourier分析/Fourier Analysis Gamma函数

利用隐函数存在定理解决解析几何问题

October 17, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 解析几何/Analytical Geometry

压缩定理解决一致收敛的问题

October 4, 2019
数学分析/Mathematical Analysis
comments powered by Disqus