一元微分学的顶峰——Taylor定理(三): 利用Taylor定理分析误差

September 10, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 泰勒定理/Taylor Theorem

问题的引入

如果数列$\{x_n\}$的极限是$x$, 那么有$\lim_{n\to\infty}(x-x_n)=0$. 但是问题是, $x-x_n$是以什么速度收敛到$0$的呢? 和$n$有没有关系? 如果按照一定比例放大这个误差会有什么结果? 可以先考虑一个简单的例子: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$, 而这个误差$\frac{1}{n}-0$就能刻画收敛速度. 如果我们放大$n$倍, 那么有$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n}-0)=1$.

接下来, 我们尝试分析一些更复杂但是很有实际意义的误差.

$e$和$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

欧拉数$e$有一个很重要的极限

[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e]

这个极限是随着$n$的增大而趋于$0$的. 问题是, 我们能不能定量分析这个误差? 有一种办法是写出$e=\sum\frac{1}{n!}$然后展开$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$再进行分析. 这种方法要处理的项太多了. 接下来, 我们会尝试通过Taylor定理进行细致而又简洁的分析.

令$\delta_n=e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, 求证$\lim\limits_{n\to\infty}n\delta_n=\frac{e}{2}$.

用Taylor公式分析$\delta_n$即可. [ \begin{aligned} \delta_n=e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=e-\text{exp}\left(n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\
&=e-\text{exp}\left(n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right) \\
&=e-\text{exp}\left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\
&=e\left(1-\text{exp}\left(-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right) \\
&=e\left(1-\left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right) \\
&= \frac{e}{2n} +o(1) \end{aligned} ]

所以就有 $\lim\limits_{n\to\infty}n\delta_n=\frac{e}{2}$.

在这几个式子里, 我们用到了两次Taylor公式. 第一次是将$\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$展开成$\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2})$. 第二次是将$\text{exp}\left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)$展开成$\left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)$. 但这两次运算的实质是一样的: 将复杂的函数简化成多项式(变元是$\frac{1}{n}$), 再进行无穷小量的分析. 用Peano余项的Taylor公式分析极限不是奇怪的事情, 因为Peano余项本身就是一个不等式的刻画.

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})$和$\int_{0}^{1}f(x)dx$(积分与黎曼和)

这个问题是我在解决一个数学竞赛题的时候发现的. 在这篇文章里我试着推广一下. 通过分析这个误差, 也能对积分的定义有一些不同的认识.

设$f(x)$在$[0,1]$可导, 求极限[\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx\right)]

这个和上一节中的$n\delta_n$一样, 都是$0\cdot\infty$类型的极限. 我们必须进一步化简这个等式.

首先要做的一件事情是将求和号合并. 为了将不确定性降到最低, 将$\int_{0}^{1}f(x)dx$分割成$n$个小区间的积分和. 否则还能做什么? 我们还能直接利用积分中值定理. 但是这样做的话不确定内容太多(只有整个$[0,1]$区间的函数中值). 换句话说, 分割成$n$个小区间, 也是为了将不确定性进行“分割”.

[ \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f(\frac{k}{n})-f(x)\right)dx ]

看到$f(\frac{k}{n})-f(x)$, 读者可能会想到Lagrange中值定理, 但这是远远不够的. $x$还是变化的, 所以这个中值也是变化的, 而且中值的变化情况也是很难确定的. 这就要求我们有更深入的挖掘. Taylor定理无疑是中值定理的强化版, 对此我们有 [ f(x)=f(\frac{k}{n})+f’(\frac{k}{n})\left(x-\frac{k}{n}\right)+o(x-\frac{k}{n}) ]

将这个展开式和上一步得到的和式合并, 发现可以消去一项, 也就是说有 [ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f(\frac{k}{n})-f(x)\right)dx &= -\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f’(\frac{k}{n})(x-\frac{k}{n})+o(x-\frac{k}{n})\right)dx \\
&=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2n^2}f’(\frac{k}{n})+o(\frac{1}{n^2})\right) \end{aligned} ]

以上涉及到的是一系列基本的积分运算. 值得注意的是$\frac{1}{2n^2}f’(\frac{k}{n})$这一项, 如果乘上$n$再求和, 再取极限, 就是一个积分. 对于另一项高阶无穷小, 乘以$n$再相加, 可估计出$n^2\cdot o(\frac{1}{n^2})\to{0}$. 这时我们已经离答案很近了: [ \begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}n\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2n^2}f’(\frac{k}{n})+o(\frac{1}{n^2})\right)&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f’(\frac{k}{n}) \\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f’(x)dx \\
&=\frac{f(1)-f(0)}{2} \end{aligned} ]

也就是说,

[\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx\right)=\frac{f(1)-f(0)}{2}]

小结

我们在做的都是一件事情: 多项式近似. 对初等函数而言, 多项式通常是最简单的一类. 对多项式而言, 求导、积分、不等式等等都是比较简单, 比较自然的. 也可以这样想: 多项式是有限次运算, 而其他初等函数可能是无限次运算. 但是分析一些问题时, 有限次运算就够了. Taylor公式就给我们搭建起无限次到有限次的桥梁.


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