一元微分学的顶峰——Taylor定理(二): 三种余项的推导

September 8, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 泰勒定理/Taylor Theorem

前言

上一篇文章中, 我们解决了几个问题: Taylor定理到底在做什么, Peano型余项是什么,和其他几种常见余项的关系. 在这里, 我们会对其余三种余项进行推导, 采取最优雅的推导顺序: 积分型余项->Lagrange余项和Cauchy余项. 如果把积分余项放在最后, 推导剩下两个是比较困难的过程——至少比推导Peano余项要困难. 但是这篇文章的推导过程只需要用到下面两个工具:

分部积分公式

设$F$和$G$是在$[a,b]$上的可导函数, 而且$f=F’$和$g=G’$都是可积函数, 那么有[\int_{a}^{b}F(x)g(x)dx=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}f(x)G(x)dx]

积分中值定理

如果$f(x)$在$[a,b]$上连续, 而且$g$在$[a,b]$上可积且不变号, 那么存在$\xi\in[a,b]$使得[\int_{a}^{b}f(x)g(x)=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx]

积分型余项的推导

我们要做的工作是, 进行$n$次分部积分运算. 但是我们不会直接写出积分然后证明它是余项. 相反, 先写出余项最原始的式子, 再化成定积分的形式.

余项最原始的式子也就是不能写成$\frac{f^{(k)}(x)}{k!}$形式的最后一项: [ R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k ]

对$R_n$任意阶导数的探讨

上一篇中我们提到, 有一个很重要的任务是把原函数的“斜率”给“抄”过来. 而分部积分的计算也要用到导数, 所以先探究一下余项函数导数的性质就很有必要

对于$R_n(x)$这个函数进行$n$阶求导, 很容易得到一个关系(可以纸笔验算一下): [ R_n^{(k)}(x_0)=0\quad k=1,2,\cdots,n ]

而$n+1$阶求导, 后面的多项式求导之后结果为$0$, 从而有 [ R^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x) ]

利用定积分公式表示出余项

根据微积分基本定理, 首先会有 [ R_n(x)=\int_{x_0}^{x}R_n’(t)dt ]

为了得到不同的结果, 利用分部积分公式: [ \begin{aligned} \int_{x_0}^{x}R_n’(t)dt&=xR_n’(x)-x_0R’_n(x_0)-\int_{x_0}^{x}R_n^{(2)}(t)tdt \\
&=xR_n’(x)-\int_{x_0}^{x}R_n^{(2)}(t)tdt \\
&=\int_{x_0}^{x}R_n^{(2)}(t)(x-t)dt \end{aligned} ]

这里要注意最后一个等号. 我们不想要$xR_n’(x)$这一项, 但是考虑到$xR_n’(x)=x\int_{x_0}^{x}R_n^{(2)}(t)dt$, 将其合并到另一个积分里. 否则, 每次运算, 都得到一个额外的未知项, 这肯定是很不方便的.

接下来, 继续进行这个分部积分运算过程即可. [ \begin{aligned} \int_{x_0}^{x}R_n^{(2)}(t)(x-t)dt&=\frac{1}{2}\int_{x_0}^{x}R_n^{(3)}(t)(x-t)^2dt \\
&= \cdots\cdots \\
&= \frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}R_n^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt \\
&= \frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt \\
\end{aligned} ]

至此就得到了积分型余项:

设$f(x)$在区间$(x_0-r,x_0+r)$上有$n+1$阶连续导函数, 那么对每个$x\in(x_0-r,x_0+r)$成立[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0}{k!}(x-x_0)^k+\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt]

可以发现, 这个余项是非常具体的定积分. 如果能得到$f^{(n+1)}(x)$的表达式, 我们完全可以得到确定的值. 接下来, 我们会通过积分中值定理, 直接得到另外两种余项.

另外两种余项的推导

Lagrange余项

如果了解了积分中值定理, 这种余项的推导是显然的: [ \begin{aligned} R_n(x)&=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt \\
&=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)\int_{x_0}^{x}(x-t)^ndt \\
&=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1} \end{aligned} ]

其中$\xi$在$x$和$x_0$之间.

可以发现, Lagrange余项的推导过程变成了简单的积分运算. 涉及到两个过程: 将$f^{(n+1)}(t)(x-t)^n$看成$f^{(n+1)}(t)$和$(x-t)^n$的乘积, 然后利用中值定理进行运算.

Cauchy余项

Cauchy余项的推导过程和Lagrange余项的推导过程类似, 只要将$f^{(n+1)}(t)(x-t)^n$看成本身和$1$的乘积: [ \begin{aligned} R_n(x)&=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt \\
&=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n(x-x_0) \end{aligned} ]

总结

积分余项和另外两种余项的区别是很明显的: 没有不确定的中值$\xi$. 这一点既有优点又有缺点. 如果需要准确地数值计算, 那么利用积分型余项完全有可能得到任意精度的结果. 但如果本来就想进行不等式运算, 解决问题的关键在于取值范围而不是具体值, 那么就应该考虑另外两种余项了.

回顾一下到目前为止我们完成的工作, 可以再考虑那个问题: 为什么说Taylor定理是一元微积分的顶峰? 极限、不等式、数值计算、微分、积分、线性近似, 这些一元微积分中需要解决的问题, 都汇聚到Taylor定理中. 学习了Taylor定理, 再去看待微分学中其他的内容, 例如中值定理、洛必达法则等等, 自然就有了“一览众山小”的感受了.


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