n维空间中球的体积

September 6, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Gamma函数

球的定义

我们可以在$n$维欧基里德空间对球进行很简单的定义: [ B_n(R)=\{(x_1,\cdots,x_n)|\sum_{i=1}^nx_i^2\leq{R^2}\} ]

在一维空间, 这就一条线段; 在平面, 这就是一个圆面, 对于三维以上的球, 想象形状是很困难的事情, 但是利用微积分工具研究球的体积还是可行的. 为了进一步简化运算, 我们将引入参数方程.

多维空间球的参数方程表示

平面圆上一点可以用极坐标表示成$(r,\theta)$, 其中$r$是点到原点的距离, $\theta$是连接原点和极轴的夹角. 实际上, 这个点可以写成$(r\cos\theta,r\sin\theta)$. 但是推广到多维空间, 情况变得很复杂. 三角函数只有两个, 而坐标轴有$n$个. 而且夹角的定义是不确定的. 为此, 我们利用递归的办法, 逐个获得每个坐标的表示. 设$P(x_1,x_2,\cdots,x_n)$, 球半径为$r$, 坐标轴为$\textbf{e}_1,\cdots,\textbf{e}_n$.

  1. 第$i$次分解, 得到第$m=n-(i-1)$个坐标, 坐标数为$OP_{i-1}\sin\theta_i$, 其中$\theta_i$为$\textbf{e}_m$和$\overrightarrow{OP}_{i-1}$的夹角. 其中$P_0=P$.

  2. 如果$m>1$, 令$\overrightarrow{OP}_{i-2}$为$\overrightarrow{OP}_{i-1}$的另一个分量. 此即$\overrightarrow{OP}_{i-1}$和自身与$\textbf{e}_m$的投影的向量差. 此后重复步骤1.

  3. 如果$m=1$, 停止进行.

如果$n=1$, 那么只进行步骤1一次. 注意到, 此时(或者说递归到1时)$\theta=\frac{\pi}{2}$, 所以$\sin\theta_n$略去不写; 如果$n=2$, 那么进行两次递归. 得到的结果是$x_1=r\cos\theta, x_2=r\sin\theta$. 这和我们常用的表示方法是一致的. 有了这个分解途径, 我们可以将$n$维空间的球坐标参数方程写出来:

[ \begin{cases} \begin{aligned} &x_n=r\sin\theta_1 \\
&x_{n-1}=r\cos\theta_1\sin\theta_2 \\
&x_{n-2}=r\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_2 \\
&\cdots\cdots \\
&x_1=r\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-1} \end{aligned} \end{cases} ]

接下来我们要讨论$n>2$时$\theta_i$的取值范围. 实质上, 只需要讨论$\theta_1$和$\theta_{n-1}$即可. 对于$i<n-1$, $\theta_i$表示向量和坐标轴夹角(取值范围为$(0,\pi]$)的余角, 取值范围为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$就足够表示.

但是$\theta_{n-1}$不能是这个范围. 这个角其实是平面内的夹角, 所以取值范围应为$[0,2\pi)$. 这个可以通过圆和三维球进行解释: $n=2$时,$\theta$必须取遍整个圆; $n=3$时, 另一个夹角只需取遍半个圆即可. 另一部分可以通过旋转得到. 综上, $n>2$时, 夹角$\theta_i$满足

[ \begin{aligned} \theta_i\in\begin{cases}[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),&0\leq i< n-1 \\\ [0,2\pi), &i={n-1}\end{cases} \end{aligned} ]

$\Gamma$函数——计算体积的核心工具

接下来我们将介绍一个很经典的含参积分函数. 它不仅在各个领域有着非常广泛的应用, 它自身的性质的验证也是非常好的微积分训练题.

在$(0,+\infty)$定义$\Gamma$函数如下:[\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt]

$\Gamma$函数的第一层认识:阶乘

进行简单的广义积分的运算, 不难发现, $\Gamma(1)=1$. 如果进行分部积分运算, 还可以发现: [ \begin{aligned} \Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}t^xe^{-t}dt&=-\int_{0}^{\infty}t^xde^{-t}=-t^xe^{-t}|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt^x \\
&=x\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x) \end{aligned} ]

如果将这个等式代入整数, 就会发现有$\Gamma(2)=1\Gamma(1)=1=1!$, $\Gamma(3)=2\Gamma(2)=2!$, $\cdots$. 也就是说, 我们有以下重要结论:

$$\Gamma(n+1)=n!\quad n=1,2,\cdots$$

$\Gamma$函数的第二层认识: $B$函数和$\Gamma(\frac{1}{2})$

我们会引入另一个和$\Gamma$函数有密切联系的函数, 不过具体的论证细节不是这篇文章的重点, 我们仅进行简略的说明. 对于$x,y\in(0,+\infty)$, 有

$B(x,y)= \int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

如果我们令$t=\sin^{2}\theta$, 代入$B(x,y)$的积分中, 会得到$B$函数的另一个表示形式 [ B(x,y)=\int_{0}^{1}\sin^{2x-2}\theta\cos^{2y-2}\theta d\sin^{2}\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta d\theta ]

很明显, 如果代入$x=y=\frac{1}{2}$, 就会得到 [ B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\pi ]

再利用$B(x,y)$和$\Gamma$函数的关系, 得到

[ \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(1)}=\Gamma(\frac{1}{2})^2=\pi ]

那么我们就得到了一个重要的等式 [ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} ]

当然$\Gamma$函数的内容绝对不止如此. 正相反, 它是一个非常有趣、非常能体现微积分思想的函数. 如果你不了解如何得到$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$的值, 那么读到这里, 你已经离它很近很近了. 可以试试自己分析一下.

我们先停下来看看到这里我们做了什么.

首先, 我们将点的坐标进行极分解, 从$(x_1,\cdots,x_n)$到$(r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})$. 我们不希望用各种繁琐的方式计算体积. 正因为此, 我们进行极坐标转换, 试图直接利用三角函数的性质. 其次, 我们引入了$\Gamma$函数. 就目前所知, 它和阶乘、$\pi$有联系.

我们这样做的目的是, 将求体积变成一个很单纯的多元定积分问题. 当然这背后还有一些多元积分的理论, 我就不花大篇幅讲了.

体积的计算

极分解函数

从$\textbf{x}=(x_1,\cdots,x_n)$到$\textbf{p}=(r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})$, 我们实际上是定义了一个从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的函数, 函数方程即一系列参数方程. 也可以叫做“换元”. 这个函数(设为$P$)的定义域为$B(n)$, 而值域其实我们也已经在求角范围的过程中求出来了. 它不是一个球, 而是一个$n$维“长方体”. 这个长方体$D$满足 [ D=\{((r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})|0\leq{r}\leq{R},-\frac{\pi}{2}\leq\theta_1<\frac{\pi}{2},\cdots,-\frac{\pi}{2}\leq\theta_{n-2}<\frac{\pi}{2},0\leq\theta_{n-1}< 2\pi\} ]

体积的推导

这里涉及到向量外积、微分形式等诸多复杂问题. 不能把这篇文章超过一半的文本用来引入这些概念. 在这里只给出积分简单的推导. 尽管可能不够严密.

抛开具体过程, 我们希望得到这样一个等式: [ V(R)=\int_{B_n(R)}dV ] 对于$dV$, 我们有 [ dV=dx_1dx_2\cdots dx_n ]

利用Jacobi行列式和换元的关系, 又能得到(这相当于求微分) [ dx_1dx_2\cdots dx_n=J_P d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}dr ]

计算$J_P=\frac{\partial(x_1,\cdots,x_n)}{\partial(r,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})}$(这相当于一元函数的导数)得 [ J_P=r^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2} ]

再结合$D$的“边长”, 体积公式就很显然了: [ \begin{aligned} V(R)&=\int_{D}J_P d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}dr \\
&=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cdots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}r^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}dr \end{aligned} ]

接下来我们要做的就变成了单纯的计算.

体积的计算

对于$r^{n-1}$这一项, 有 [ \int_{0}^{R}r^{n-1}dr=\frac{R^n}{n} ]

此外还有

[ \int_{0}^{2\pi}d\theta_{n-1}=2\pi ]

对于带有形如$\cos^m\theta$的项, 就需要用到$B$函数了(这其实也是Wallis公式的另一种理解办法). [ \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m\theta d\theta&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m\theta d\theta \\
&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2\frac{m+1}{2}-1}\theta\sin^{2\frac{1}{2}-1}\theta d\theta \\\ &=B(\frac{m+1}{2},\frac{1}{2}) \end{aligned} ]

因此, [ \begin{aligned} V_n(R)&=\int_{D}J_P d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}dr \\
&=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cdots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}r^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}dr \\
& = \frac{R^n}{n}\cdot 2\pi\cdot\Pi_{k=1}^{n}B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) \end{aligned} ]

将$B$函数展开, 代入$\Gamma(\frac{1}{2})$, 就得到了最终的结果 [V_n(R)=\frac{(\sqrt{\pi}R)^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}]

这就是任意维度球的体积. 在计算过程中, 我们完全避开了复杂的几何性质, 把求体积的问题转换成了三角函数的积分. 这个体积公式中既有$\pi$, 又有$R^n$,还有一个与维度有关系的系数. 实际上, 完全可以把$n=1,2,3$代入, 得到的结果和我们刚才通过基本的微积分一点点推出来的结果是一样的.

一个很可爱的结论

[\sum_{n=1}^{\infty}V_{2n}(R)=e^{\pi R^2}]

这个结论很可爱. 我们在任意维度搭建起球和自然数对数$e$的桥梁. 一番斗争后我们又回到了规整的自然数. 当然证明也是非常简单的: [ \sum V_{2n}(R)=\sum \frac{R^{2n}{\pi}^n}{\Gamma(n+1)}=\sum \frac{(\pi R^2)^n}{n!}=e^{\pi R^2} ]


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