高等数学入门: 关于极限这个概念

August 22, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 高等数学入门

前言

你开始高等数学或者数学分析的课程之后, 不出意外的话, 会立马碰上一个理解和应用非常困难, 却又非常重要的概念: 极限. 这篇文章里我不想也不会讲各种奇妙的计算”秘诀”. 我不支持这种内容, 当然让我讲我也讲不了. 我会在这篇文章里分享一下我对极限这个概念的理解, 希望我的理解能对各位有所帮助.

极限好理解吗?

不, 极限很难理解. 理解的难度并不是说某人悟性如何, 而是因为, 这个概念的正确建立在数学历史上就是充满坎坷的. 总体来说, 高中课程上完, 我们来到了牛顿-莱布尼兹时代. 我们学习了四则运算、勾股定理、欧几里得几何、笛卡尔坐标系、一元二次方程等等, 又学习了一些导数和积分的基本知识. 这基本是牛顿-莱布尼兹发展微积分之前的内容. 但是, 接下来的路就显得很坎坷了. 从牛顿和莱布尼兹在17世纪发展了微积分以来, 数学家们花了好长时间才摆脱无穷小量这个”梦魇”. 微积分诞生之初, 理论基础非常不严格, 诸如”先不等于$0$, 再等于$0$“这种说法也使微积分本身遭到了批评家的砰击. 一直到20世纪, 无穷小量才得到了严格地数学处理. 我们不可能轻轻松松走完数学家们二百年的路. 极限的理解是一个长期的工作, 贯穿整个微积分的学习, 不能急于求成.

极限到底在处理什么?

数列$\{a_n\}$收敛于$a$的定义是: 对于每一个给定的$\varepsilon>0$, 存在$N$, 使得对满足条件$n>N$的每个自然数$n$, 成立不等式$|a_n-a|<\varepsilon$.

函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时以$A$为极限的定义是: 设$a,A\in\mathbb{R}$, 函数$f$在点$a$的一个邻域中有定义, 若对每个给定的$\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$, 使得$-\delta<x-a<\delta$时, 成立不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$.

我们要从牛顿莱布尼兹时代往前迈进, 不能再出现”先不等于$0$, 再等于$0$“之类的说法了. 从两个定义中可以看到, 极限中有两个重点需要处理: 不等式、全称量词和存在量词. 这也是数学家们”驯服”无穷小量的办法. 数理逻辑中两个重要的逻辑符号, $\forall$和$\exists$, 在数学中被广泛使用, 这其中就包括了极限. 这两个量词使得叙述更加清晰严密, 想写否定说法也轻而易举. 至于不等式, 想必各位已经接受了一定量的训练.

我们再来看看这两个定义到底在干什么: 对数列来说, 解释”无穷远处”确实是一件很困难的事, 那我们退而求其次, 解释这个数列的局部特征, 也就是说, $n>N$这一部分. 对函数来说, 某个点$x=a$处可能没有定义, 比如$y=\frac{x^2-1}{x+1}$在$x=-1$处. 那么解释这个点处的性质变得很困难, 所以我们退而求其次, 解释局部特征, 也就是说$x=a$这个点附近. 而这两个情况中的局部都有一个特征: 误差足够小.

极限这个概念涉及的面非常广, 有各种各样复杂的形式, 涉及到各种不等式, 会用到各种计算技巧, 这也是极限这个概念非常困难的原因之一. 但是不能忘记处理极限的时候到底在干什么.

总结

这篇文章可能会让你失望. 文中并没有什么奇妙的”本质”, 没有立竿见影的效果. 但是我希望它能让你对极限的理解得到提升——至少, 得抓住理解的重点. 微积分的课程从引入极限的概念以后, 总是在直接或者间接的处理极限, 而极限又总是在处理量词和不等式.

又说一句题外话: 我并不支持所谓”狗-sin狗等价于六分之一狗三”这种让人哭笑不得的”真传”. 可能对于大多数人来说, 高等数学中各种定理的严格的理论证明不是很重要, 这当然无可厚非, 没有谁对谁错. 但是, 理解正规的论述(尽管可能不是很严密)对提高数学水平还是很有帮助的. 能用生动形象的语言把一些知识解释给别人听说明自己理解得好, 但是把经不起推敲的解释太当回事肯定也不行, 这样肯定会少点东西.


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