洛必达法则的几种证明办法

August 19, 2019
数学分析/Mathematical Analysis

前言

洛必达法则我想甚至不少高中生都听说过, 知道怎么进行简单的应用. 简单点说, 处理$\frac{0}{0}$的函数时, 对上下进行求导, 可能会很大程度上简化计算. 但是洛必达法则为什么能奏效? 能不能用严格的数理语言进行论证? 这是这篇文章需要解决的.

洛必达法则的完整论述

假设有在$(a,b)$可导的实函数$f$和$g$, 且$g’(x)\neq0$对所有$x\in(a,b)$恒成立, 其中$-\infty\leq{a}<{b}\leq+\infty$. 若有[\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{g’(x)}=A,]且如果[\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,]或[\lim_{x\to a}g(x)=+\infty,]那么[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A]类似的结论对$x\to{b}$或者$g(x)\to-\infty$也成立.

证明1:线性近似

波努利最开始的”证明”

洛必达法则首次出现于1696年洛必达的 Analyse des inJiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes(Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curves) 一书中. 这本书当然以”洛必达法则”闻名于世. 证明是这样完成的: [ \frac{f(a+dx)}{g(a+dx)}=\frac{f(a)+f’(a)dx}{g(a)+g’(a)dx}=\frac{f’(a)dx}{g’(a)dx}=\frac{f’(a)}{g’(a)} ]

这个证明很好理解, 线性近似展开, 再考虑到$f(a)=g(a)=0$就得到结果. 但是这个做法肯定是不合适的, $dx$在这里非常模糊, 也不方便表达$x\to\infty$的情况. 关于历史内容可以参见 The Historical Development of the Calculus 一书.

线性近似的严格证明

首先, 这里只讨论$h\to0$的情况. 实际上, 对于其他情况, 可以作换元. 例如$h\to\infty$时, 可以利用$u=\frac{1}{h}$, 那么又转换成了$u\to0$的情况. 另外我们只讨论函数趋近于$0$的情况. 因为趋近于无穷时函数的线性近似可能无法处理. 例如$y=\frac{1}{x}$在$x=0$附近是没有近似的.

对函数导数有 [ f’(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, ] 我们可以写成 [ f’(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + r(h) ]

其中$\lim\limits_{h\to0}r(h)=0$, 且$r(h)$为连续函数. 进行代数变形(这里$r(h)$的正负进行了调整),我们的得到线性近似 [ f(x+h)=f(x)+f’(x)h+r(h)h ] 同样可以写出$g(x)$的线性近似 [ g(x+h)=g(x)+g’(x)h+s(h)h ]

那么就能得到 [ \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f(a)+f’(a)h+r(h)h}{g(a)+g’(a)h+s(h)h}=\frac{f’(a)h+r(h)h}{g’(a)h+s(h)h}=\frac{f’(a)+r(h)}{g’(a)+s(h)} ]

而$h\to0$时,$r(h)\to0$, $s(h)\to0$, 故得到了结论.

证明2:中值定理

这个证明中, 我们会利用柯西中值定理(GMVT)对所有的情况进行完整的证明, 这期间涉及到一些不等式运算技巧. 证明来自Rudin的 Principles Of Mathematical Analysis, 我会在其中加上一些额外的解释

情况1: $-\infty\leq{A}<+\infty$

选取实数$\varepsilon>0$和$q$使得$A<A+\varepsilon<q$. 因为$\frac{f(x)}{g(x)}\to{A}$, 必定有实数$\delta\in(0,b-a)$使得对于所有$a<x<a+\delta$, 始终有$-\varepsilon<\frac{f’(x)}{g’(x)}-A<\varepsilon$. 也就是说 [\frac{f’(x)}{g’(x)}<A+\varepsilon.]

对$a<x<y<c$, 由GMVT可知, 存在$t\in(x,y)$使得不等式(A)成立: [ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f’(t)}{g’(t)}<A+\varepsilon ] 最后一个不等式成立是因为$t\in(x,y)\subset(a,b)$, 而$(a,b)$中这个不等式成立.

情况1.1: $g(x)\to0$

令$x\to{a}$, 此时关于$x$和$y$的不等式会有$\frac{f(y)}{g(y)}\leq{A+\varepsilon}<q\quad(a<y<a+\delta)$

也就是说, 对任意实数$\varepsilon>0$, 有$\delta>0$, 使得$a<y<a+\delta$时, 满足不等式(B): [ \frac{f(y)}{g(y)}\leq\varepsilon+A<q ] (注意:这个地方并没有用$\varepsilon-\delta$证明了这个情况下的收敛)

情况1.2: $g(x)\to+\infty$

记$r=A+\varepsilon$. 固定不等式(A)中的$y$, 因为$g(x)\to+\infty$, 能找到一个值$c\in(a,b)$使得$g(x)>g(y)$和$g(x)>0$对所有$x\in(a,c)$同时成立. 那么不等式(A)两边同时乘以$[g(x)-g(y)]/g(x)$, 能得到不等式© [ \frac{f(x)}{g(x)}<r-r\frac{g(y)}{g(x)}+\frac{f(y)}{g(x)}\quad(a<x<c) ]

令$x\to{a}$, 因为$g(x)\to+\infty$, 有点$g_1\in(a,c)$使得不等式(D)成立: [ \frac{f(x)}{g(x)}<q\quad(a<x<c_1) ]

情况1.1和1.2的整合

不等式(B)和(D)都只说明, 存在$c\in(a,b)$使得对于所有$x\in(a,c)$, 满足$\frac{f(x)}{g(x)}<q$.但是$\frac{f(x)}{g(x)}$与$A$的关系并不知道.

这里要注意, 不等式(B)和(D)都只在$q>A$时成立, 也就是说,如果$q=A$, 那么有$\frac{f(x)}{g(x)}\geq{q}=A$. 也就是说, 对于所有$q>A$, 都存在$c\in(a,b)$, 使得对于所有$x\in(a,c)$, 满足 $A\leq\frac{f(x)}{g(x)}<q$, 若令$q\to{A}$, 就能得到$\frac{f(x)}{g(x)}\to{A}$.

情况2: $-\infty<{A}\leq+\infty$

这个情况是完全类似的. 同理可证, 对任意$p$, 当且仅当$p<A$时, 总有$c’\in(a,b)$, 使得对于所有$x\in(a,c’)$, 满足$p<\frac{f(x)}{g(x)}\leq{A}$.

结合$A$的这两种情况, 原命题得证.

证明中几个小问题

假设它无意义, 如果有$g(x)=g(y)$, 那么有${x}<t<y$使得$g’(t)=0$, 此时不满足$f’(t)/g’(t)<A+\varepsilon$.

每次改变$x$, $t$也发生改变, 记为$t(x)$, 此时可能有$\lim\limits_{x\to{a}}\frac{f’(t(x))}{g’(t(x))}=r$.


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