从复数的矩阵表示到极分解

August 15, 2019
线性代数/Linear Algebra

复数的矩阵表示

之前的文章中我们指出, 一个复数可以对应一个线性变换, 而这个线性变换是拉伸和旋转的复合. 当然, 我们不想局限在二维空间. 接下来, 我们要将这个”拉伸+旋转”推广到任意有限维度. 首先,我们回忆对复数的表示. 复数$z=a+bi$用极坐标表示, 得到$z=\rho e^{i\theta}$. 这其中, $\rho=|z|\geq{0}$, $\theta$表示向量$(a,b)$和$x$轴的夹角. 用矩阵表示, 就有 [ \begin{bmatrix}a&-b\\\ b&a\end{bmatrix}=\rho\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\rho&0\\\ 0&\rho\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} ]

这时, 我们把一个实方阵表示成了一个半正定实对称矩阵($\rho\geq{0}$)和一个正交矩阵. 它的”功能”是长度放大$\rho$倍, 旋转了$\theta$角度. 长度和角度正是极坐标的概念. 一个复数分解成了一个唯一的极坐标$(\rho,\theta)$. 而接下来我们要做的就是, 对于任意有限维度的矩阵, 分解成这样一个”极坐标”.

极分解

任一实方阵$A$可以表示为[A=S\Omega=\Omega_1 S_1,]其中$S$和$S_1$是半正定实对称方阵, 且为唯一的; 而$\Omega$与$\Omega_1$为实正交方阵.

两个引理

  1. 设$S$为半正定实对称方阵, 则有惟一的半正定实对称方阵$S_1$, 使得$S=S_1^2$.

  2. 对任意$m\times{n}$实矩阵$A$, 存在实正交方阵$\Omega_1$和$\Omega_2$,使[\Omega_1{A}\Omega_2=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0),]其中$\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_r>0$, $\lambda_1^2,\cdots,\lambda_r^2$为$A^{T}A$的所有非零特征根.

极分解的证明

证明过程中涉及到两个引理的应用, 以及正交矩阵和半正定矩阵的性质.

利用引理2展开$A$, 设有两个正交矩阵$P$和$\Omega$, 得到 [ A=P\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)\Omega=P\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)P^{T}P\Omega=S(P\Omega) ]

第二个等号成立是因为$P^{T}P=I$. 再考虑到半正定矩阵的性质, 合并得到的$S$为半正定矩阵(因为$\lambda_i>0$). 因此$A$被分解成了半正定矩阵和正交矩阵的乘积(左分解).

重新展开$A$, 又能得到 [ A=P\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)\Omega=P\Omega\Omega^{T}\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)\Omega=(P\Omega)S ]

同样, $A$被分解成正交矩阵和半正定矩阵的乘积(右分解).

接下来证明$S$和$S_1$的唯一性. 对于$A=S\Omega$, 注意$AA^{T}=S\Omega\Omega^{T}S^{T}=SS^{T}=S^2$, 而$AA^{T}$为半正定实对称方阵, 根据引理1, $S$是惟一的. 同样, $A^{T}A=S_1^2$, 这说明$S_1$是唯一的.

总结

这篇文章中探讨了由复数的极坐标表示启发, 拓展到任意有限维度的实矩阵极分解的过程. 这也相当于找到了这个矩阵的”极坐标”(若是复数域, 需要探讨酉矩阵和半正定厄米矩阵.). 这样的分解可能不能简化数值运算, 但是大大简化了利用矩阵分析和研究的过程, 赋予一个矩阵更具体的物理意义: 拉伸和旋转. 例如连续介质力学中探讨形变时, 可以利用极分解, 分离旋转和拉伸两个过程. 此外, 极分解在计算机图形学里也能得到应用.


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