商空间与线性映射基本定理

August 14, 2019
线性代数/Linear Algebra

整数和线性空间的同余类

我们先考虑这样一个数列: [ \cdots,-6,1,8,15,22,36,\cdots ]

注意这组数都可以写成$1+7n$的形式. 这个数列中每一个数除以7得到的余数都是1, 任取任何两个数$\alpha$和$\beta$, 一定有 [ \beta-\alpha=7n,n\in\mathbb{Z} ]

在研究整数时, 我们可以把这个数列的数称为同余类, 记为 [ \{a+mk|k\in\mathbb{Z}\}=a+m\mathbb{Z}=\overline{a} ]

接下来, 我们将这个同余类推广到线性空间. 在这里, 我们不再以某个数为模, 而以某个线性子空间为模.

设$V$是数域$F$上的线性空间, $W$是$V$的线性子空间, $V$中的向量$\alpha$和$\beta$满足$\alpha-\beta\in{W}$时, 称$\alpha$和$\beta$模$W$同余.

考虑到线性空间的定义, 线性空间中的元素一定对自己同余. 也就是说, $\alpha$和$\beta$对模$V$同余. 这是一个平凡的例子. 下面要举一个不平凡的例子. 考虑平面$xOy$中的向量. 作一条直线$x=1$, 那么起点在原点, 终点在这条直线上的向量必定与$y$轴构成的线性空间模同余. 接下来, 我们想找到一些合适的对线性空间的模同余更好的表示方法.

以$W$为模, 与$\alpha$同余的向量全体记为 [ \{\alpha+w|w\in{W}\}=\alpha+W=\overline{\alpha} ] 这称为模$W$的一个同余类, $\alpha$称为此类的代表元. 再以平面为例, 可以设$\alpha=(1,1)$, 那么$\overline{\alpha}=(1,1+k)$. 这个时候$W$为y轴.

商空间和其基本性质

商空间的定义

在这个时候, $V$被划分为许多同余类的并集, 也就是 [ V=(0+W)\cup(\alpha_1+W)\cup(\alpha_2+W)\cup\cdots ]

我们也可以把同余类作为集合的元素, 记为 [ \frac{V}{W}=V/W=\{\overline{0},\overline{\alpha_1},\overline{\alpha_2}\cdots\} ]

$V/W$被称为商空间.

商空间是线性空间

首先, 我们要给出商空间中加法和数乘运算规则, 再论证这是合理的线性空间定义.

对于加法有 [ \overline{\alpha}+\overline{\beta}=(\alpha+W)+(\beta+W)=(\alpha+\beta)+W=\overline{\alpha+\beta} ]

对于数乘有 [ c\overline{\alpha}=c(\alpha+W)=c\alpha+W=\overline{c\alpha} ]

对于定义的合理性, 首先应论证, 运算与代表元的选取无关. 设$\overline{\alpha_1}=\overline{\beta_1}$, $\overline{\alpha_2}=\overline{\beta_2}$, 考虑到$(\alpha_1+\alpha_2)-(\beta_1+\beta_2)=(\alpha_1-\beta_1)+(\alpha_2-\beta_2)\in{W}$, 有 [ \overline{\alpha_1+\alpha_2}=\overline{\beta_1+\beta_2} ] 这说明, 只要为相同同余类, 选取不同的代表元进行加法, 得到的结果是相同的. 同样的办法也可以对数乘进行验证. 设$\overline{\alpha}=\overline{\beta}$, 那么有 [ c\overline{\alpha}-c\overline{\beta}=\overline{c\alpha}-\overline{c\beta}=c(\alpha-\beta)+W=\overline{0} ]

至于其余线性空间的性质, 利用$\overline{\alpha}=\alpha+W$逐个进行验证即可.

商空间的维数关系

在这里我们要证明商空间和原空间的维数关系, 形式和对数函数类似:

[\dim(V/W)=\dim(V)-\dim(W)]

考虑到维数的定义, 我们要探讨基的数量.

设$W$的基为$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, 扩充为$V$的基$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$.

这里要注意, 对$i\leq{r}$, 有$\varepsilon_i=0+W$, 即$\overline{\varepsilon_i}=\overline{0}$. 那么对于$\alpha\in{V}$, 有 [ \alpha=\sum_{i=1}^n\lambda_i\varepsilon_i ]

取模之后有 [ \begin{aligned} \overline{\alpha}&=\sum_{i=1}^n\lambda_i\overline{\varepsilon_i}=\sum_{i=r+1}^n\lambda_i\overline{\varepsilon_i} \end{aligned} ]

因此我们需要讨论$\overline{\varepsilon_{r+1}},\cdots,\overline{\varepsilon_n}$的线性无关性. 设 [ \sum_{i=r+1}^n\lambda_i\overline{\varepsilon_i}=\overline{0} ]

那么有 [ \sum_{i=r+1}^n\lambda_i\varepsilon_i\in{W} ]

那么就可以设 [ \sum_{i=r+1}^n\lambda_i\varepsilon_i=\sum_{i=1}^r\lambda_i\varepsilon_i ]

移相后得到 [ \lambda_1\varepsilon_1+\cdots+\lambda_1\varepsilon_r-\lambda_{r+1}\varepsilon_{r+1}-\cdots-\lambda_n\varepsilon_n=0 ] 这时因为$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$线性无关, 得到$\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$. 也就是说, $\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_n=0$. 这证明了这组向量的线性无关性. 这也说明, $V/W$的基是$\overline{\varepsilon_{r+1}},\cdots,\overline{\varepsilon_n}$. 根据基的个数, 我们也得到了[\dim(V/W)=\dim(V)-\dim(W)]这个公式.

三大同构定理

线性映射基本(第一同构)定理

设有域$F$上线性空间$V_1$到$V_2$的线性映射[\psi:V_1\to V_2], $\ker(\psi)=W$, 则$\psi$诱导出线性映射的同构[\overline{\psi}:V_1/\ker(\psi)\xrightarrow{\cong}\text{Im}(\psi)][\overline{\alpha}\mapsto\psi(\alpha)]

定理的证明

$\overline{\psi}$的定义是合理的

在这里需要证明, $\overline{\psi}(\overline(\alpha)=\psi(\alpha)$的成立不依赖于$\alpha\in\overline{\alpha}=\alpha+W$的选取.

设$\alpha’=\alpha+w,w\in{W}$. 则$\overline{\psi}(\overline{\alpha})=\psi(\alpha’)=\psi(\alpha+w)=\psi(\alpha)+\psi(w)=\psi(\alpha)$.

$\overline{\psi}$ 是线性映射

对于加法, [ \overline{\psi}(\overline{\alpha}+\overline{\beta})=\overline{\psi}(\overline{\alpha+\beta})=\psi(\alpha+\beta)=\psi(\alpha)+\psi(\beta)=\overline{\psi}(\overline{\alpha})+\overline{\psi}(\overline{\beta}). ]

对于数乘, [ \overline{\psi}(\lambda\overline{\alpha})=\overline{\psi}(\overline{\lambda\alpha})=\psi(\lambda\alpha)=\lambda\psi(\alpha)=\lambda\overline{\psi}(\overline{\alpha}). ]

$\overline{\psi}$是同构映射

$\overline{\psi}(\overline{\alpha})=\psi(\alpha)=0$时, 考虑到$\ker(\psi)=W$, 有$\alpha\in{W}$, 故$\overline{\psi}=\overline{0}$. 故$\overline{\psi}$是单射.

对任意的$\beta\in\text{Im}(\psi)$, 设$\psi(\alpha)=\beta$, 则$\overline{\psi}(\overline{\alpha})=\psi(\alpha)=\beta$. 故$\overline{\psi}$是满射.

两个推论

  • 设$\psi:V_1\to V_2$为线性映射, 则[\dim(V_1)=\dim(\ker(\psi))+\dim(\text{Im}(\psi))]

  • 设$W_1$和$W_2$是$V$的子空间, 则[(W_1\oplus W_2)/W_2\cong W_1]

第一个是根据同构映射不改变维数和商空间的维数关系直接得到的. 第二个推论, 可以令$\psi:W_1\oplus W_2\to W_1,\alpha_1+\alpha_2\to\alpha_1$, 则显然有$\ker(\psi)=W_2$, 根据第一同构定得到.

第二同构定理和第三同构定理及其证明思路

(第二同构定理): 设$W_1$和$W_2$是线性空间$V$的子空间,则有线性空间同构[\frac{W_1+W_2}{W_2}\cong\frac{W_1}{W_1\cap W_2}]而且对应关系比较自然.

定义映射$\sigma:\alpha_1+\alpha_2+W_1\mapsto\alpha_1+W_1\cup W_2$, 并验证$\sigma$的定义合理, 是同构即可.

(第三同构定理): 设$S\subset{W}$均是线性空间$V$的子空间,则有线性空间同构[\frac{V}{W}\cong\frac{V/S}{W/S}]且对应关系比较自然.

定义映射$\sigma:V/S\to V/W$, $\alpha+S\mapsto\alpha+W$, 验证$\sigma$定义的合理性, 且$\ker(\sigma)=W/S$, 其余同上.


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