用实矩阵表示复数

August 11, 2019
线性代数/Linear Algebra

代数同构

现在我们想要解决的问题是, 能不能把复数用矩阵表示出来, 从而可以利用矩阵的计算方法. 这要求这个表示方法既要有线性空间的运算规则, 又要有复数的运算规则. 也就是说希望构建映射 [ \rho: \mathbb{C}\to\text{End}(V)\cong M_n(\mathbb{R}) ] 在这里, $\text{End}(V)$表示某线性空间$V$的全体线性变换, $M_n(\mathbb{R})$表示$n$阶实数方阵. 考虑到$\mathbb{C}$是$\mathbb{R}$上的二维线性空间, 上式里的$n$应该等于$2$.

实矩阵下的虚数单位$i$

实数里的$1$可以用单位矩阵$I$来表示, 而$i$的表示就有不同之处了. 如果我们设$i$对应的矩阵为二阶矩阵$J$, 但是为了得到矩阵, 我们不需要也不应该花大量时间计算矩阵元素的值. 考虑映射 \begin{equation} \begin{aligned} \varphi_i:\mathbb{C}&\to\mathbb{C}\\
x&\mapsto ix \end{aligned} \end{equation} 又注意到$\mathbb{C}$的基为$1=(1,0)$和$i=(0,1)$,而$\varphi(1)=i$, $\varphi(i)=-1$, 因此$J$的列应该是$i$和$-1$的坐标列. 因此有 [ J=\begin{bmatrix} 0&-1\\\ 1&0 \end{bmatrix} ] 确定$J$其实是一个坐标变换与基变换的过程.

$\mathbb{C}$的线性表示

考虑到复数$(a,b)$可以表示成$a\times1+b\times{i}$, 而$1$和$i$都已经有了矩阵表示$I$和$J$, 那么这个时候就得到$\mathbb{C}$的线性表示了. [ \rho:\mathbb{C}\to\mathbb{R}I+\mathbb{R}J\in{M_2}(\mathbb{R})\\
a+bi\mapsto aI+bJ=\begin{bmatrix}a&-b\\\ b&a\end{bmatrix} ]

这时就实现了复数和二阶矩阵的一一对应, 复数的运算也可以直接转化成矩阵运算. 方阵的表示具体又易于处理, 因此合理的运用可以极大程度上简化一些运算.

旋转变换: 复数乘积的几何意义

旋转变换涉及到的矩阵是 [ T=\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} ] 很明显, 这个矩阵对应复数$\cos\theta+i\sin\theta$, 是单位圆上的一点. 同时, 不难发现,这也是欧拉公式$e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}$的另一种诠释. 而如果令$r=\sqrt{a^2+b^2}$(也就是虚数的模长), 那么复数$a+bi$对应的矩阵就变成了$rT$. 这时,每个复数也对应了一个拉伸与旋转, 而复数的乘积就可以看成两个拉伸于旋转变换的复合(两个矩阵的乘积), 这为复数乘积赋予了几何意义. 不难发现, 一个数乘以$i$, 实质上是将这个数在复平面旋转$\frac{\pi}{2}$; 一个数乘以$-1$, 实质上是将这个数在复平面旋转$\pi$. 这既可以直接验证, 又可以通过矩阵的运算验证.

那么, 现在你有会怎么理解$i^2=-1$呢?


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