优美的Fourier级数(一): 绝对不只是求表达式的问题

August 5, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Fourier分析/Fourier Analysis 优美的Fourier级数

前言

Fourier级数是相当优美的一类级数,但它涉及到的问题绝对不仅仅是通过各种运算技巧求表达式. 相反,它是一个很复杂、很困难的大话题. 我在这里会把一些基本内容和一系列严格的证明整理下来. 从Fourier级数出发,我们能看到很多重要的基本技巧的应用,也会遇见和实际应用息息相关的问题. 当然这些内容里不会包括如何求表达式,我觉得计算机做得比我会好多了.

Fourier级数

在读这篇文章时, 你可能已经学到了一些求Fourier级数系数的技巧, 这可以看成一元微积分的角度的理解. 接下来, 我们希望从向量几何的角度看待Fourier级数. 当然, 这里不是要求画出几何图像, 而是要求理解运算规则.

级数的表达

最常见的Fourier级数是这种形式: [ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad x\in\mathbb{R} ]

这里的$a_n$和$b_n$既可以是实数又可以是复数(但我们接下来主要讨论实数函数$f$). 有的地方把第一项写成$\frac{a_0}{2}$, 这是考虑到积分时会多出来的一个$\frac{1}{2}$. 两种写法单纯是关于如何统一表达,在后面会解释. 考虑到$e^{ix}=\cos x+i\sin x$, 上面的式子可以写成 [ f(x)= \sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}\quad x\in\mathbb{R} ]

用这种表达方式时不用考虑$c_n$的细节. 注意到$a_0$可以写成$a_0\cos 0x + b_0\sin 0x$.

关于级数的系数,即函数的“坐标”

单位正交系

我们先回忆线性代数里的知识. 一个行向量和一个列向量的乘积是这样的:

\begin{equation} \begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=ac+bd \end{equation} 进一步,第一个行向量可以看成列向量的转置. 那么这个$ac+bd$就是两个2维平面内列向量的内积. 这即高中数学中所讲的“向量乘法”. 这涉及到经典欧基里德空间的内积定义. 而谈到向量,单位正交向量肯定是非常有探讨价值的. 因为一般情况下其他向量可以用单位正交向量比较简单地表示出来. 但是向量内积不仅仅存在于经典的欧氏空间. 我们可以定义一系列定义域相同的函数,例如$[a,b]$上的函数$f$和$g$的内积可以定义成 [ (f,g):=\int_a^b f(x)\overline{g}(x)dx ] 其中$\overline{g}$表示$g$的共轭复数. 实际上, 这个定义是$L^2$空间的内积定义, 而且$L^2$空间是$L^p$空间中唯一的Hilbert空间.

在内积空间里(欧基里德空间就是最基本的内积空间), 两个向量的内积为$0$, 说明两个向量正交,夹角为$\frac{\pi}{2}$. 而向量的模的平方即自身和自身的内积. 我们可以定义函数的“单位正交系”. 若定义在$[a,b]$上的一系列函数${\varphi_n(x)}$满足$(\varphi_n,\varphi_n)=1$而$(\varphi_n,\varphi_m)=0(m\neq n)$, 则称为单位正交系.

再看Fourier级数

可以验证,在$[-\pi,\pi]$上,下列两组函数是单位正交的: [ \frac{e^{ix}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{2ix}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{3ix}}{\sqrt{2\pi}},\cdots ] [ \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\cos x}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}},\cdots ]

读到这里可以发现,$a_0$和$\frac{a_0}{2}$的表示应该和$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$或者$\frac{1}{\sqrt{\pi}}$有关.

在$\mathbb{R}^n$里,如果知道单位正交向量$\mathbf{e_1},\cdots,\mathbf{e_n}$, 那么任意向量都可以唯一表示成$x_1\mathbf{e_1}+\cdots+x_n\mathbf{e_n}$. 这在其他欧氏空间里也是一样的. 向量$\mathbf{\alpha}$在的第$k$坐标分量为$(\mathbf{\alpha},\mathbf{e_k})$. 通过这个角度看Fourier级数,就会发现,各项的系数就是函数的坐标: [ c_m=\int_a^b f(x)\overline{\varphi_m}(x)dx ] 如果我们再看第二个复变函数形式的表达式,就有 [ c_m=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-imx}dx ] 为了得到这个形式($c_m$不受影响), 我们先用$\frac{e^{imx}}{\sqrt{2\pi}}$表示$f$, 应该有 [ \frac{f(x)}{\sqrt{2\pi}}=\sum_{-\infty}^{\infty}c_n\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}} ] 再进行积分即可.

内积运算的法则

下列内积运算的法则会在接下来用到. 涉及到复数, 因此和经典欧基里德空间有不同之处:

Dirichlet核

定义式

Dirichlet核的定义是这样的: [ D_N(x)=\sum_{-N}^N e^{inx} = \frac{\sin(N+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{x}{2}} ]

第二个等号既可以直接合并$e^{inx}$和$e^{-inx}$得到$\cos nx$的式子从而进行积化和差,又可以利用等比数列的性质得到.

搭建起Dirichlet核和原函数的桥梁

针对文章开头提到的第二种定义,可以定义函数数列 [ s_N(x)=\sum_{-N}^N c_ne^{inx} ] 将$c_n$展开,有 \begin{equation} \begin{aligned} s_N(x)&=\sum_{-N}^N\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}dt\right)e^{inx}\\
&=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi}f(t)\sum_{-N}^Ne^{in(x-t)}dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_N(x-t)dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)D_N(t)dt \end{aligned} \end{equation} 最后一个等号通过函数的周期性和简单的换元运算得到. 至此,Dirichlet核和原函数的桥梁就被搭建起来了. 接下来,需要证明,以这个函数核构建的函数收敛于$f$.

Bessel不等式以及其重要推论

设$f(x)$在正交函数系${\varphi_n(x)}$下的系数为${c_n}$, 则有$\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2\leq(f,f)$.

设$s_n(x)=\sum_{m=1}^n c_m\varphi_m(x)$, 其中$c_m=\int_a^b f(x)\overline{\varphi_m}(x)dx$. 下面通过讨论$s_n(x)$到$f(x)$的误差得到这个不等式和一个重要的推论.

注意到$(f,s_n)=\int_a^b f(x)\sum\overline{c_m}\overline{\varphi_m(x)}dx=\sum\overline{c_m}\int_a^b f(x)\overline{\varphi_m(x)}dx=\sum|c_m^2|=\overline{(f,s_n)}=(s_n,f)$, 以及$(s_n,s_n)=\sum|c_m^2|$, \begin{equation} \begin{aligned} (f-s_n,f-s_n)&=(f,f-s_n)-(s_n,f-s_n)\\
&=(f,f)-(f,s_n)-(s_n,f)+(s_n,s_n)\\
&=(f,f)-(s_n,s_n)\\
&\geq 0 \end{aligned} \end{equation} 也就是说, [ (s_n,s_n)=\sum_1^n|c_m|^2\leq(f,f) ] $n\to\infty$时,就是所谓的Bessel不等式. 也可以发现,函数的Fourier系数$c_m$满足$\lim\limits_{n\to\infty}c_m=0$. 这个推论会在下面Dirichlet核收敛的证明中用到.

收敛证明

(Dini’s Test)若对一些$x$有常数$\delta>0$和$M<\infty$使得[|f(x+t)-f(x)|\leq M|t|]对所有$t\in(-\delta,\delta)$成立,那么有[\lim\limits_{n\to\infty}s_N(x)=f(x)]

要注意的是,我们在这里只讨论逐点收敛. 其他形式的收敛会在接下来的文章中讨论

定义函数 [ g(t)=\begin{cases} \frac{f(x-t)-f(t)}{\sin(t/2)},0<|t|<\pi\\
0,t=0 \end{cases} ] 考虑到 [ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(x)dx=1 ] 因此有 [ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)f(x)dt=f(x) ] 所求函数和原函数做差,就有 \begin{equation} \begin{aligned} s_N(x)-f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)tdt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left[g(t)\cos\frac{t}{2}\right]\sin Ntdt+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left[g(t)\sin\frac{t}{2}\right]\cos Ntdt \end{aligned} \end{equation} 根据$f(x)$的条件和$g(x)$的定义,$g(x)\cos(t/2)$和$g(x)\sin(t/2)$是有界的. 利用Bessel不等式的推论可以发现,这两个积分趋近于$0$. 这就证明了结论.

总结&我接下来想写的

写到这里,已经涉及到了很多数学中的基本技巧:三角函数、向量内积、复变函数、等比数列、函数项数列收敛等等. Fourier级数可以说是相当“优美”的一类级数. 在一些领域中,展开式中每一项均具有物理意义,这是其他级数难以企及的. 我们又可以看到,Fourier级数还可以跳出三角函数的限制,放在普遍的无穷维空间的规范正交基. 此外,它的收敛定理相比幂级数而言也是很宽松的.

接下来还有很多内容,我暂时的打算是这样的:

“优美的Fourier级数”系列

完整索引


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