一些让步

直接解释方程计算办法,看似很实在,但是反而会让问题变得更复杂,因为对结构很不清楚,只剩下一个空穴来风的公式。但是,接下来我们不得不假设我们能很轻松地算出一个方程的解(就当是超能力吧!)——因为有的方程本来就没有什么普遍的解决办法。这篇博客的目的在于,让读者认识到,就算没有具体的解决办法,也能宏观上对方程进行一些合适的处理。这篇博客中也不是解释如何解方程,而是关于如何利用矩阵和一些常见的数学理论,分析未知的问题。解方程的具体办法会在下一篇博客。

解结构的分析

从一阶一次线性方程中得到的启示

最开始我们分析的是这种方程

如果我们有一个解$y_1(x)$使得

而且有一个特殊的解$y_2(x)$使得

那么全体解就可以表示成$Cy_1(x)+y_2(x)$,有

所以如果是$n$个未知数呢?会不会是得到$n$个解,然后再有一个特解?但是一定得是$n$个吗?会不会是更多,或者更少个?如果是$n$个,会不会和一般研究的$n$维欧几里得空间建立联系?比如处理一个$2$元方程,是不是可以投影到二维平面?幸运的是,我们可以很轻松地把欧几里得空间和线性方程的解建立起联系。

线性方程与欧几里得空间的联系

这篇博客(和接下来的博客)中,加粗的数学符号都代表列向量或者矩阵。如果觉得不适应,可以自己写成向量和矩阵方便理解。

解的存在性和唯一性

线性方程组

的满足条件

的解是存在且唯一的(这里要求$\mathbf{f}$和$\mathbf{A}$中的函数都是连续的)。这个问题的证明是一个比较麻烦的事情,涉及到Banach不动点问题,在这里就不做证明了。但是也是很好理解的:这里的$\mathbf{A}$和$\mathbf{f}$都是连续的,都不是“病态”的,所以这个方程不会有“病态的”形式,解是很自然的。

和欧氏空间的一一对应

我们宣称,线性方程组

的解和$n$维欧氏空间是一一对应的。也就是说,对每个$\mathbf{y}(x)$,都对应$n$维欧氏空间的唯一一个向量;反之,对$n$维欧氏空间的每一个向量,都对应着一个方程组的唯一一个解

这其实就是所谓解的存在性和唯一性的直接应用。在定义域固定一个$x_0$,然后我们选择$\mathbb{R}^n$的自然基,也就是

其中$\mathbf{e_1}=(1,0,\cdots,0)$, $\mathbf{e_n}=(0,\cdots,0,1)$。

那么满足

的解就是存在且唯一的。如果这个对应,所以我们也选择了

这样一组“基”(这里我们假设我们已经有一下子求出解的超能力),那么能不能建立一个$\mathbb{R}^n$的平行版?答案是可以的。对于$\mathbb{R}^n$ ,我们肯定有

我们设这一节中方程的全体解集合为$\mathfrak{R}^n$,那么我们已经有了$\mathbf{y_i} \in \mathfrak{R}^n$,我们希望

这其实利用求导的性质和矩阵的性质,就可以解决。因为

而且不难验证,$C_1\mathbb{y_1}+C_2\mathbf{y_2}$和$C_1\mathbf{e_1}+C_2\mathbf{e_2}$也是一一对应的。所以,我们可以很自然地构建一个和$\mathbb{R}^n$一一对应的平行的空间,尽管这个空间我们可能没法可视化。

我们知道,${\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\cdots,\mathbf{e_n}}$这组向量,能很自然地用加法和数乘表示出$\mathbb{R}^n$中任意一个向量,而我们建立的等价关系也已经保证,${\mathbf{y_1}(x),\mathbf{y_2}(x),\cdots,\mathbf{y_n}(x)}$也能用加法和数乘,表示出$\mathfrak{R}^n$中的任意一个解。换句话说,本节的方程的全体解$\mathfrak{R}^n$,其中的任意一个解,都可以表示成

其中$C_i$为常数。这里其实是一个同构(isomorphism)关系,如果了解这个概念,可以很轻松的写出严格的证明,但在这里就不深入了。

注意,我们这里已经强迫$\mathbf{f}=\mathbf{0}$. 这样一个$\mathbf{y_0}$,就能保证$\mathbf{y’=Ay+f}$的普遍性。如果我们已经得到了一个$\mathbf{y’=Ay+f}$的特殊解$\mathbf{y_1}$,保证了准确性,那么,$\mathbf{y_0+y_1}$,总共$n+1$个函数,就能表示出所有解了。$\mathbf{f}=0$时,我们的$\mathbf{y_1}=0$也是很和谐的。我们在解决多元微分方程时,处理的问题和一元一次情况下,是很类似的。

尝试解决高阶方程

我们现在还有那个超能力,能一下子解决$\frac{d\mathbf{y}}{dx}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}$这样的方程,能求出一组基对应的解。如果我们令

那么我们就可以得到一个方程

所以我们已经得到了$n$个不同的解,不妨设这组解是$y_1,y_2,\cdots,y_n$。分别对这些$y_i$求导$n-1$次,就能得到上一节中的$n$维列向量。

那么如果是

这种方程,该怎么求解呢?我们还是通过类似于之前一阶线性方程的办法,通过求导运算,间接求出来。假设有一个函数$y$满足这个方程。

我们不妨设

以及

其中满足$y_p=\mathbf{c \cdot y}$(利用行向量、列向量的乘法规则)。所以我们接下来的工作就是求出这样一个$\mathbf{c}$。我们会尝试用线性代数的语言进行描述,可以看到,表述变得非常简单。在这里,对向量求导、求积分的意思是

但是直接进行下去也似乎漫无边际。我们希望,能把这个$c$给稳定下来,所以我们会尝试加一些限制条件。这样的限制应该是$n-1$条。这就好比,如果要在平面中确定,和一条直线垂直的直线,那么只需要一个向量就行了。如果要在空间中确定,和一个平面垂直的一条直线,确定两个向量就行了——所谓两条相交直线确定一个平面。

我们来分析一下怎么确定会更好。对$y$求导,我们有

如果我们令$c’y=0$,那么就有

如果再令$\mathbf{c’ \cdot y’}=0$,继续下去,甚至是$\mathbf{c’ \cdot y^{(k)}}=0$,其中$0 \leq k \leq n-2$,那么对应就有$y_p^{(k)}=cy^{(k)}$。而且接下来求导就变得比较简单。但是,如果我们令$\mathbf{c \cdot y^{(p)}}=0$,就很麻烦了,因为接下来多了像是$c’,c’’,\cdots$这种未知量。这会让等式越来越长,没法表达。所以,我们选择限制条件

已经选择了$n-1$个限制条件,那么能不能凑个整,得到第$n$个式子?那样的话,有$n$个未知数,有$n$个等式,像是再搞矩阵了。我们还有一点根本没用上:最开始的方程。对于$0 \leq k \leq n-1$,我们已经已经有(可以手动验算一下):

所以就有

这个时候,回到最开始的方程,代入这$n$个等式,有

最后一个等号成立是因为,在$\mathbb{y}$中,每个分量$y_k$都满足$y_k+a_1y_k^{(n-1)}+\cdot+a_ny_k=0$。所以这些向量加起来是一个$0$向量。

所以我们有了关于$\mathbf{c’}$的$n$个等式,也就是说

如果我们写成矩阵的形式,就有

如果你学习了Cramer法则,那么怎么解决这个问题已经浮现在眼前了。没错,我们可以直接利用Cramer法则,求出$\mathbf{c’}$,然后再求积分。我们用线性代数,将这个结构厘清,又简单利用微积分,将结果得出。

对于每个$c_k’$,我们有

从而$c_k = \int\frac{W_k}{W}dx$,重复$n$次,就得到了整个$y_p$,从而得到我们想要的解。其中$W$为上式中由$y_1,y_2,\cdots,y_n$构成的矩阵的行列式,而$W_k$是将$W$中第$k$列换成$(0,0,\cdots,0,f)^T$之后得到的矩阵的行列式。具体而言,我们有

并没有什么诡异又空穴来风的公式需要记忆,这一切都来得很自然。可能会有人注意到,如果这里的$W(x)=0$该怎么办?这其实说明,选择的解,并没有代表性,其中的一个解,可以用另外几个解表示出来。比如方程$y’’=y$,应该选择解$e^{x},e^{-x}$,不应该选择$e^{x}$和$2e^{x}$,因为这个时候$e^{x}$可以很直接地表示出$2e^{x}$来。

一个例子

这篇博客里并没有直接解释怎么直接解出高阶常微分方程,实际上这个问题并不见得有多简单。但是,如果我们有了超能力,能解出方程右边等于$0$时候的解,就能得到所有实际要求的解了。我们可以试着解一个方程。

如果要解$y’’+y-2y=0$,可以得到一组具有代表性的解:$e^{x}$和$e^{-2x}$。这个时候的$W$和$W_k$就可以直接求出来了。

从而

假设我们知道在原点处的取值情况,例如$\begin{cases}y(0)&=0\\ y’(0)&=1\end{cases}$,我们就能得到方程组

解出$C_1=\frac{1}{3}$,$C_2=-\frac{1}{3}$.