线性ODE(二)——用矩阵表示方程组

矩阵表示的目的

的确,看似普通的一元常微分方程,就已经存在非常难解,或者无法用初等形式得到解的方程了,例如Airy方程$y’’=xy$。它的解是这个样子的:

这个看似平凡的方程的解就这么复杂,我们更不能指望有解决更多未知函数或者次数更高的方程,能总是得到简洁的结果。但是在宏观上的处理还是可行的,这也给我们解决比较简单的方程(也可能是将复杂的问题在局部进行简化近似)创造了可能性。

在求解一般的线性方程组时,我们将一个方程组表示成一个矩阵和列向量的乘积的形式。这种表示方法可以简化表示,还可以充分运用矩阵的性质,像是行列式、秩、标准型等等。在解决线性微分方程组时,我们也想进行类似的 操作。具体而言,我们想解决这样几个问题:

  1. 假设我们已经得到了方程的解,那么这些解有怎样的性质?和一般的实数范围的方程组的解有什么不同?
  2. 既然求导是线性运算,我们在线性代数中的理论,有多少可以用上?
  3. 如果要求解的方程组的系数全是实数,那么能不能运用实矩阵的性质,对矩阵进行简化(例如化为对角型等),对方程求解进行简化?

多元线性常微分方程组

从方程组到矩阵

我们考虑这种形式的方程组:

这个时候,如果我们令

以及

那么这个方程组就可以写成

高阶常微分方程和多元常微分方程组

高阶方程是指的这种形式

这个方程看似和多元方程组没有关系,但是如果我们新定义若干变量,加上一些约束关系,这个方程就一个多元方程了

我们又知道

那么这个时候,一个矩阵已经浮现出来了:

同时有

这时,矩阵运算就变得自然了,也就是说,$\frac{d\mathbf{y}}{dx}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}(x)$。如果了解过友阵,那么看到这里的$\mathbf{A}(x)$难免要想到它。如果这里的$a_i(x)$都是常数,那么这个矩阵就是一个常见的多项式的友阵。有意思的是,这不是巧合。

对于多项式$f(\lambda)=\lambda^k+c_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+c_0$,对应的友阵$C(f)$为

不难验证,$C(f)$的特征多项式为$f$。有些场合会把友阵写成上述矩阵的转置。

但是我们应该直接把高阶微分方程直接看成一个多元微分方程组吗?那样远远不够。高阶微分方程对应的矩阵的特殊结构,导致它具有一些特殊的性质,这些性质不是讨论多元微分方程组的性质能替代的。

接下来的内容

虽然可能有点唐突,我们接下来会先假设,我们已经能很轻松得到一个矩阵对应的解,然后需要做的工作是搞清其中的结构。在获得适量的结论(但是不应该过于深入)之后,我们会尝试讨论最简单的方程:高阶微分方程,也就是

包括一些可行的解法,和用线性代数工具进行操作的实例。标准化、Cramer法则等等,都会在这里很自然地出现。接下来,我们会讨论稍微复杂点的方程组:常系数微分方程组,即系数矩阵$\mathbf{A}(x)$为常数的矩阵。最后,我们会尝试得到对于所有方程组的一些普遍性结论。

线性ODE(二)——用矩阵表示方程组

https://desvl.xyz/2020/05/04/linear-ode-chapter-2/

Author

Desvl

Posted on

2020-05-04

Updated on

2023-07-08

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