线性ODE（二）——用矩阵表示方程组

矩阵表示的目的

的确，看似普通的一元常微分方程，就已经存在非常难解，或者无法用初等形式得到解的方程了，例如Airy方程$y’’=xy$。它的解是这个样子的：

$$\begin{aligned}y&=a_0\left\{1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)(3n-1)(3n-4)\cdots6\cdot5\cdot3\cdot2}\right\} \\ &+a_1\left\{x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)(3n)(3n-2)(3n-3)\cdots7\cdot6\cdot4\cdot3}\right\}\end{aligned}$$

这个看似平凡的方程的解就这么复杂，我们更不能指望有解决更多未知函数或者次数更高的方程，能总是得到简洁的结果。但是在宏观上的处理还是可行的，这也给我们解决比较简单的方程（也可能是将复杂的问题在局部进行简化近似）创造了可能性。

在求解一般的线性方程组时，我们将一个方程组表示成一个矩阵和列向量的乘积的形式。这种表示方法可以简化表示，还可以充分运用矩阵的性质，像是行列式、秩、标准型等等。在解决线性微分方程组时，我们也想进行类似的 操作。具体而言，我们想解决这样几个问题：

1. 假设我们已经得到了方程的解，那么这些解有怎样的性质？和一般的实数范围的方程组的解有什么不同？
2. 既然求导是线性运算，我们在线性代数中的理论，有多少可以用上？
3. 如果要求解的方程组的系数全是实数，那么能不能运用实矩阵的性质，对矩阵进行简化（例如化为对角型等），对方程求解进行简化？

多元线性常微分方程组

从方程组到矩阵

我们考虑这种形式的方程组：

$$\begin{cases}y_1'=a_{11}(x)y_1+a_{12}(x)y_2+\cdots+a_{1n}(x)y_n(x)+f_1(x) \\\cdots\cdots\cdots\cdots \\y_n'=a_{n1}(x)y_1+a_{n2}(x)y_2+\cdots+a_{nn}(x)y_n(x)+f_n(x)\end{cases}$$

这个时候，如果我们令

$$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\y_2 \\\cdots \\y_n\end{pmatrix},\quad\mathbf{f}(x)=\begin{pmatrix}f_1(x) \\f_2(x) \\\cdots \\f_n(x)\end{pmatrix}$$

以及

$$\mathbf{A}(x)=\begin{pmatrix}a_{11}(x) &a_{12}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\a_{21}(x) &a_{22}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \cdots & a_{nn}(x)\end{pmatrix}$$

那么这个方程组就可以写成

$$\frac{d\mathbf{y}}{dx}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}(x)$$

高阶常微分方程和多元常微分方程组

高阶方程是指的这种形式

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}(x)y=f(x)$$

这个方程看似和多元方程组没有关系，但是如果我们新定义若干变量，加上一些约束关系，这个方程就是一个多元方程了

$$\begin{cases}y_1=y \\y_2 = y' \\\cdots \\y_k = y^{(k-1)} \\\cdots\\y_{n}=y^{(n-1)}\end{cases}$$

我们又知道

$$y^{(n)}=y_n'=-(a_n(x)y_1+\cdots+a_1(x)y_n)+f(x)$$

那么这个时候，一个矩阵已经浮现出来了：

$$\mathbf{A}(x)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n(x)&-a_{n-1}(x)&-a_{n-2}(x) & \cdots & -a_1(x)\end{pmatrix}$$

同时有

$$\mathbf{f}(x)=\begin{pmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\f(x)\end{pmatrix}$$

这时，矩阵运算就变得自然了，也就是说，$\frac{d\mathbf{y}}{dx}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}(x)$。如果了解过友阵，那么看到这里的$\mathbf{A}(x)$难免要想到它。如果这里的$a_i(x)$都是常数，那么这个矩阵就是一个常见的多项式的友阵。有意思的是，这不是巧合。

对于多项式$f(\lambda)=\lambda^k+c_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+c_0$，对应的友阵$C(f)$为

$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -c_n&-c_{n-1}&-c_{n-2} & \cdots & -c_1\end{pmatrix}$$

不难验证，$C(f)$的特征多项式为$f$。有些场合会把友阵写成上述矩阵的转置。

但是我们应该直接把高阶微分方程直接看成一个多元微分方程组吗？那样远远不够。高阶微分方程对应的矩阵的特殊结构，导致它具有一些特殊的性质，这些性质不是讨论多元微分方程组的性质能替代的。

接下来的内容

虽然可能有点唐突，我们接下来会先假设，我们已经能很轻松得到一个矩阵对应的解，然后需要做的工作是搞清其中的结构。在获得适量的结论（但是不应该过于深入）之后，我们会尝试讨论最简单的方程：高阶微分方程，也就是

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}(x)y=f(x)$$

包括一些可行的解法，和用线性代数工具进行操作的实例。标准化、Cramer法则等等，都会在这里很自然地出现。接下来，我们会讨论稍微复杂点的方程组：常系数微分方程组，即系数矩阵$\mathbf{A}(x)$为常数的矩阵。最后，我们会尝试得到对于所有方程组的一些普遍性结论。