高等数学入门——理解无穷小的阶（微积分的“科学计数法”）

从科学记数法讲起

当处理非常大或者非常小的数的时候科学记数法肯定是很方便的，不用记写很多$0$，也不用数有几个$0$。像是木星的质量大约是$1.9\times 10^{27}$千克，而电子的质量大约是$9.1 \times 10^{-31}$ 千克，能很轻松地进行表达。如果这两个数进行加法或者乘法，那也不是很困难（至少相比于非得把两个数列出来好算）。

对于一个用科学记数法表示的数

$$x=a \times 10^b$$

很多信息自然地暴露了出来。$a$帮助我们认识这个数的具体值（可能是估计值，但是估计起来也很方便！），$b$帮助我们认识这个数的数量级。在计算pH值时对浓度取$\lg$对数，正好是利用了这一点。虽然在数学上$e$的应用更广泛，但是实际计算并不方便；而$\lg$对数如果用来计算像是$10^b$这种数，就非常简单了。

有人就会问，这些虽然好用，但是这是2000多年前阿基米德时代的数学，和17世纪以后的微积分有什么关系？我在这篇博客中会尝试建立一个观点，无穷小量、无穷大量、阶的估计是微积分的科学记数法。另外，无限趋近、逼近这些词看上去很不严格，其实是一种对严格表达的形象化表述，而原先的严格表达并没有问题。

微积分的“科学记数法”

抓住极限定义的重点

虽然无限趋近、逼近这些词很形象，但是如果看到严格的表述仍然觉得不知所云，那样的话理解还是有问题。

$\lim_{x \to a}f(x) = A$的定义是: 对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，成立$|f(x)-A|<\varepsilon$.

教授微积分的老师尝试用很多办法形象化地表述这个观点。像是作出函数的图像，然后对图像缩放，让人能看到这个结论的成立。但是这可能只是一个结果。重点在于这几个逻辑词上。极限的定义其实是一个朴素的逻辑命题，这里面最复杂的内容，仅仅是不等式。对于任意的$\varepsilon>0$，至少存在一个$\delta>0$，使得当一个关于$\delta$的不等式成立时，一个关于$\varepsilon$的不等式一定成立。如果满足这样的条件，就说明这个函数有极限。不管问题再怎么复杂，我们最终关心的还是不等式会不会成立。你可以设想，写了一个bool函数，然后给它传入任意正值，总是返回true（这样一个$\delta$存在）。其实到了后面探讨什么函数可导、Riemann可积、Lebesgue可积、可测，都是试图化归到一个平凡的判断问题上。

记号$o,O,\sim$

$\sim$，同阶和等价无穷小（大）量

可能这个极限不少人中学就知道了

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$

这个时候就可以记成$\sin{x}\sim x(x\to 0)$。可以说，$\sin{x}$在$x=0$处和$y=x$非常接近，几乎重合。但是我们也可以说，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得$0<|x|<\delta$时，一定有$|\frac{\sin{x}}{x}-1|<\varepsilon$。这个的论证可能涉及到一些计算技巧，但是逻辑问题的表达还是很朴素的。

严格来说，如果任意两个函数$f(x)$和$g(x)$，如果有

$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

就记$f(x)\sim g(x) (x \to a)$. 这里有$-\infty\leq a \leq +\infty$。如果有$|f(x)|\to\infty$或者$f(x) \to 0$，这个时候就是在计算无穷大量或者无穷小量，这个时候就称$f$是$g$的等价无穷小（大）量。

这里的”等价“其实也很有意思。经过简单的计算，不难验证，对于关系$\sim$，满足以下三个性质：

1. 自反性：$f \sim f$
2. 对称性：$f \sim g$当且仅当$g \sim f$
3. 传递性：如果$f \sim g$且$g \sim h$，那么一定有$f \sim h$

如果一个关系满足这三条性质，就称为“等价关系”。$\mathbb{R}$上两个数的相等自然也满足这个关系。

当然可能比值等于$1$有点严苛，但是可能有同阶无穷小：

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0$$

那么其实也罢，只需要两边除以$A$就行了，也就是说$f(x)\sim Ag(x)(x \to A)$。比如说$1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2$.

为什么引入这个概念？

这就体现出文章开头讲的“科学计数法”了。可能实际的函数计算很繁琐（比如，涉及到三角函数、反三角函数等等），然而有一种函数的计算一直是很平凡的：多项式。或者稍微退一步，幂函数。这种函数甚至可以直接计算出数值来。如果我们能把复杂的函数简化成幂函数，那么事情就简单了很多。这就好比计算$9800000000000.00001 \times 82012$可以简化成$9.8 \times 8.2 \times 10^{12+4}$。误差是可以接受的。或者说，我们尝试用幂函数表示一个函数的“数量级”，这个“数量”指的是在某点的逼近速度。当然也不一定必须要化归成幂函数，也可以逆向操作，变成一个不同的但是更好计算的极限。下面解释一个经典的例子。

设$\alpha \neq 0$, 求极限

$$\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}$$

令$y=(1+x)^\alpha-1$，那么简单计算就能得到$\ln(1+y)=\alpha\ln(1+x)$。又知道$\ln(1+x)\sim x$，综合一下我们就有

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{y(x)}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{y(x)}{x}\frac{\ln(1+y)}{\ln(1+y)} \\ &=\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+y)}{x}\frac{y}{\ln(1+y)}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{\alpha\ln(1+x)}{x}\lim_{x \to 0}\frac{y}{\ln(1+y)} \\ &=\alpha \cdot 1\cdot 1 \end{aligned}$$

这里利用了极限的一个基本性质：

如果$\lim_{x \to a}f(x)=A$，$\lim_{x \to a}g(x)=B$，那么$\lim_{x \to a}f(x)g(x)=AB$。

要注意这个结论是完全可以用$\varepsilon-\delta$语言进行证明的。

这个问题的解决我们依赖了一个很简单的结论：$\ln(1+x)$和$x$在$x=0$附近是相同的“数量级”。然后我们把原来的极限化归成这样的一个比值，反复组合利用。其实通过$\ln(1+x)\sim x$可以直接得到$y \sim \ln(1+y) \sim \alpha\ln(1+x)\sim\alpha x$（这里的每一个$\sim$都是有理论基础的，再注意最开始已经指出，这个$\sim$是具有传递性的），从而得到

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{y(x)}{x} &= \lim_{x \to 0}\frac{y(x)}{x}\frac{\alpha x}{\alpha x} \\ &=\alpha\lim_{x \to 0}\frac{y(x)}{\alpha x}\\ &= \alpha \cdot 1 \end{aligned}$$

无穷小量的阶

既然我们试图将一个连续函数的极限”简化“成一个幂函数，那么我们就可以用幂函数的阶定义极限的阶。也就是说

若已知$\lim_{x \to a}f(x)=0$，且存在常数$\alpha>0$使得

$$\lim_{x \to a}\left\vert\frac{f(x)}{(x-a)^\alpha}\right\vert=A \neq 0$$

即$f(x)\sim A(x-a)^\alpha$，那么就称$f(x)$在$x \to a$时有$\alpha$阶无穷小量

这里的$\alpha$就好比是科学计数法里的数量级，虽然不能给我们准确信息，但是给我们的信息在一些环境下已经足够了，这些信息恰好就是我们想要的。

但是有的函数不一定有阶。例如函数$x\sin\frac{1}{x}$在$x=0$附近并没有阶。只需要观察

$$\frac{x\sin\frac{1}{x}}{x^\alpha}$$

在$0<\alpha<1$时，此函数极限为$0$。在$\alpha \geq 1$时，函数极限不存在，这时就并不存在阶这一说了 。

现实中估计错一个数的数量级可能会产生不少麻烦，比如$10^{26}$和$10^{27}$差别还是很大的。在计算极限的时候估算错阶，可能就直接得到了错误的结果。等价关系$\sim$只在比值这一方面告诉了我们一些信息，但是并没有告诉我们加减法上的信息（就好比科学计数法也没告诉我们加减法的信息一样）。如果不注意到这一点，下面这个极限就会算错：

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^3}&=\lim_{x \to 0}\left\{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)\left(\frac{\cos{x}-1}{x^2}\right)\right\}\\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

这个地方自然没有问题。但是如果没认识到这一点，能得到好几个不同的结果。可能会有人认为$\sin{x}\sim x \sim \tan{x}$，所以直接利用$\sin{x} \sim \tan{x}$，直接得到这个错误结果：

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}-\sin{x}}{x^3}=0$$

所以$\sin{x}-\tan{x}$的阶应该$<3$。但实际上阶就是$3$。还可能得到另外一些古怪的结果。例如

$$\lim_{x \to 0}\frac{x - \tan{x}}{x^3}= -\frac{1}{3} \\ \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x} - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

（上面两个极限都是正确的，但是肯定不是最初求的极限！）$\sin{x}$是$1$阶无穷小，$\tan{x}$是$1$阶无穷小，而二者的和是$1$阶的，差是$3$阶的。在计算极限时，就需要考虑两个无穷小的和差的阶是否发生改变。这就好比，我们不能说两个质量的数量级为$10^{20}$千克的行星的和或者差的数量级也是$10^{20}$这个数量级。

记号$o$和$O$又在表达什么？

先举个例子。我们在谈论飞机、火箭这些航天飞行器的时候，往往会引入音速甚至是光速等等概念，因为慢速下的速度单位已经不够用了。比如马赫（Mach number）这个概念。它指的是速度和音速的比值。有的时候我们就会关注飞机的飞行速度有没有超过音速，甚至要讨论是音速的几倍。但是骑自行车的速度就和音速没有可比性了。

这里的$o$和$O$也是一个”参考“的作用。在上一节我们探讨了$\frac{f(x)}{g(x)}$收敛到非零常数的情况，但是不一定能得到这样的结果。

如果满足$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，就记$f(x)=o(g(x))(x \to a)$。如果$x \to a$时有$f(x) \to 0$ 且$g(x) \to 0$，那么就称$f$是比$g$更高阶无穷小。

比如对于$\alpha > 1$, 就有$x^\alpha = o(x)(x \to 0)$。因为这个函数满足这个极限关系。以$g$做参考，那么$f$的收敛速度是更快的。这里的$=o(\cdot)$也可以看成一种“关系”，但是这种关系只满足传递性，并不是一个等价关系。等价关系的剩下两个条件都不满足。如果$f(x)=o(g(x))$且$g(x)=o(h(x))$，那么一定有$f(x)=o(h(x))$，但是并没有$f(x)=o(f(x))$，更不会有$g(x)=o(f(x))$，这通过很简单的极限计算就能得到。

如果有$f(x)=o(1)(x \to a)$，那么就有$\lim_{x \to a}f(x)=0$。当然这个时候用$o$表示会显得很别扭，但是把$1$当分母，也确实没有问题！这个时候我们看成和常数函数比较收敛速度，那么函数收敛就是收敛，不收敛就是不收敛。

$f(x)=O(g(x))(x \to a)$的定义是，存在$a$的某个去心邻域和非负常数$M$，使$\left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert \leq M$在这个邻域上恒成立。

这里的“去心邻域”并不是什么复杂的概念。在处理极限的时候，$f(x)$和$g(x)$在$a$处可能都没有极限，所以就讨论某个小区间，把$a$抠去，也就是说$(a-\delta,a) \cup (a,a+\delta)$。这个是最粗略的估计，但是也很方便。可能计算比值的极限比较麻烦，但是我们知道比值是有界的，就能减少不少麻烦。

在研究傅里叶级数时，常常会研究一类“适度下降”的函数，需要函数$f$满足$f(x)=O\left(\frac{1}{1+|x|^\alpha}\right)$，其中$\alpha > 1$。我们还可以探讨前面那个无阶函数，就能发现

$$x\sin\frac{1}{x}=O(x),\quad x\sin{\frac{1}{x}}=o(x^\alpha)(\alpha<1)$$

“科学记数法”的总结

像是现实中的科学计数法，为了方便计算和理解，把很长的数的信息抽象出来然后使用另一种办法总结。$o, O,\sim$这种符号将指定函数满足的比值和极限的结论抽象出来，然后利用这些结论表示一个函数，从而间接计算出原来的极限。这就像是精确到小数点后几位，和音速、光速做对比，将问题进行简化。而这些简化的基础都在于极限的定义，在于那些逻辑命题能不能成立。