从一个”难题”入手

设${f_n}$是一个定义在$[0,1]$上的连续函数列,且$0\leq f_n\leq 1$. $n\to\infty$时,对任意$x\in[0,1]$有$f_n(x)\to{0}$. 求证 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_n(x)dx=0 \]

在Riemann积分下这个命题的证明确实很头疼。虽然说有$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$,但是这里并不是一致收敛,所以不能直接将极限号和积分号交换。但是也没有别的信息,只能从连续性入手。

Riemann积分在讨论函数列的时候往往需要考虑是否一致收敛,这往往很麻烦。19世纪末,很多数学家都主张,高等数学课中的Riemann积分(这也是每个人都要学的)应该被新的一种更普遍、更灵活、更方便解决极限问题的积分替代。那个时期很多的数学家都进行了尝试,Lebesgue的办法可以说是集大成者。粗略地说,Riemann积分是由下面这个和式逼近的: \[ \sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta{x_i} \]

也就是所谓面积的极限。$f(t_i)$是矩形的高,$\Delta{x_i}$是矩形的宽。当然还有Darboux上和、Darboux下和等等概念,然后讨论两者的差,在$\varepsilon-N$语言下严谨地逼近,这就是所谓可积性。讨论一个指定函数的积分,函数已经确定了,但这里的$\Delta{x_i}$还可以做文章。对于$\Delta{x_i}=x_i-x_{i-1}$,它代表了区间$[x_{i-1},x_i]$的长度,而区间是一个集合。能不能通过讨论集合的”大小”来解决积分问题呢?

这篇博客里讨论的集合是任意的(这也是博客标题里”抽象”所指)。既可以考虑经典的Euclidean空间,又可以考虑概率论中的事件空间,或者是其他。它们都可以统一到Lebesgue积分中,而Riemann积分在很多时候也可以通过Lebesgue测度”$m$“进行计算(粗略地说,$m(E)$就是$E$的“体积”)。另外,最开始的这个题在Lebesgue积分下也是很简单的。

$\pi$-系统、$\lambda$-系统、$\sigma$-代数

函数的值域

如果要给一个集合定义一个”大小”,也就是对应一个值,那么需要定义一个函数,这个函数建立起集合到实数或者复数的映射。例如定义$m([a,b])=b-a$,这就是集合$[a,b]$的长度,$b-a$就是一个实数。这个函数的值域可以是$\mathbb{R}$或者$\mathbb{R}^2$的一个子集,而定义域是怎样的呢? 首先,它应该是一个由集合构成的集合。比如一个集合$A$的幂集$\mathcal{P}(A)$。但是一定是幂集吗? 可不可以小一点或者大一点? 它又能不能保证一些运算的合理性? 这就是这里需要解决的问题。接下来,我们会一步步把这个”定义域”所需要满足的条件逐步勾勒出来。这也是Lebesgue积分的”主战场”。


一个由集合$X$的子集构成的集合$\mathcal{P}$在满足如下条件时被称为$\pi$-系统: 如果$A\in{P}$且$B\in\mathcal{P}$,那么$A\cap{B}\in\mathcal{P}$.

$\pi$-系统保证了这个集合族在有限次交运算的封闭性。一个最简单的$\pi$-系统是$\mathbb{R}$中所有闭区间(注意把$\varnothing$也算上)构成的集合。两个闭区间的并集必定是闭区间或$\varnothing$,而$\varnothing$和闭区间的并集是$\varnothing$。这就是一个$\pi$-系统。但是不一定保证无穷次运算的封闭,也不保证并集的封闭。

概率论中的样本空间也是一个$\pi$-系统。两个事件的交也在一个样本空间中。这自然是合理的。但是只是$\pi$-系统肯定不够。就比如说,一个事件的否定该怎么办? 无穷个事件(这可能涉及到概率论中的收敛问题)又该怎么办? 如果积分是定义在$\pi$-系统上也不行,不能只考虑全体闭区间。接下来会引入另一个系统。

一个由集合$X$的子集构成的集合$\mathcal{L}$在满足如下条件时被称为$\lambda$-系统:

  1. $X\in\mathcal{L}$.
  2. 若$A, B\in\mathcal{L}$,且$B\subset{A}$,那么$A-B\in\mathcal{L}$.
  3. 若$A_n\in\mathcal{L}$,且$A_n\subset{A_{n+1}}$,那么有$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$.

样本空间也是一个$\lambda$-系统,有了一些$\pi$-系统中没有的合理性质。比如全事件,两个事件的差,单调事件列的极限的封闭性。


$\sigma$-代数,两个系统的结合

已经看到,两种系统各有优劣,都只能锁定一部分性质。实际上,两种系统结合起来,就是一个合理定义的最精炼的”定义域”,也就是$\sigma$-代数。如果一个集合$X$的子集族$\mathfrak{M}$既是$\pi$-系统又是$\lambda$-系统,那么$\mathfrak{M}$被称为定义在$X$上的$\sigma$-代数。

继续从样本空间出发考虑概率论中的例子。首先空集和全事件是肯定要有的。$\lambda$-系统就保证了这一点。根据1和2,$X-X=\varnothing\in\mathcal{L}$。如果将2中的$A$固定为$X$,那么又可以发现,任意子集的补集也在$\mathcal{L}$中。

最后需要考虑可数个并集的情况(这涉及到加法)。考虑到De Morgan定律,这也就解决了交集的问题。$\pi$-系统只交代了有限个的交运算,$\lambda$-系统只解决了单调集合列的运算,这两个单独看局限性肯定是很大的。但是结合起来就能得到任意可数个并集的情况了。这一点的论证是一个非常有意思的集合运算技巧,在这里演示一下。

设对于$n=1,2,\cdots$有$A_n\in\mathfrak{M}$,已经有$A_n^c\in\mathfrak{M}$。不难验证$B_n=\bigcup_{i=1}^{n}A_i=\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i^c\right)^c\in\mathfrak{M}$。又有$B_{n}\subset B_{n+1}$,所以$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n=\bigcup_{n=1}^{A_n}\in\mathfrak{M}$。

综上,定义在$X$上的$\sigma$-代数$\mathfrak{M}$满足三个性质:

  1. $X\in\mathfrak{M}$.
  2. 若$A\in\mathfrak{M}$,那么$A^c\in\mathfrak{M}$(这里$A^c=X-A$).
  3. 若对$n=1, 2, \cdots$有$A_n\in\mathfrak{M}$,那么$\bigcup A_n\in\mathfrak{M}$.

这时,$X$称为可测空间,$\mathfrak{M}$中的元素称为可测集合。

一些评注和补充

  1. 不难证明,$\sigma$-代数既是$\pi$-系统又是$\lambda$-系统。也就是说,它满足这两个系统本身的性质,所以集合的差,有限个集合的交、并自然不在话下。
  2. $\sigma$-代数中的元素可以有很多个,比如$\mathcal{P}(X)$,也可以有两个,比如${\varnothing,X}$。实际上,$X$的任何子集族都可以生成一个最小的$\sigma$-代数。特别地,由$X$的全体开子集生成的$\sigma$-代数$\mathcal{B}$是一个有特殊地位的代数,它能和谐地处理连续函数(广义的)。$\mathcal{B}$的元素称为Borel集。
  3. $\pi-\lambda$定理(两种系统的关系):设$\mathcal{P}$和$\mathcal{L}$分别是一个$\pi$-系统和一个$\lambda$-系统,而且$\mathcal{P}\subset\mathcal{L}$,设包含$\mathcal{P}$的最小$\sigma$-代数为$\sigma(\mathcal{P})$,那么有$\sigma(\mathcal{P})\subset\mathcal{L}$。

可测函数

对于一个有界函数,如果这个函数Riemann可积,那么这个函数几乎处处连续。例如单调函数、有可数个甚至有限个间断点的函数。但是在这里讨论Lebesgue函数时并不考虑函数是否连续(尽管连续函数和可测函数有很多联系,这不是这篇博客的重点)。

设函数$f:X\to{Y}$,定义在$X$上的$\sigma$代数为$\mathfrak{M}$,若对任意的开集$V\subset{Y}$都有$f^{-1}(V)\in\mathfrak{M}$。其中$f^{-1}(V)={x\in{X}:f(x)\in{V}}$

如果不了解什么是”开集”,可以先看作开区间的推广,即不包括边界点的集合。比如开区间、平面中不包含边界的集合,而开集的补集为闭集。开集是一个拓扑的基本元素,可测函数的定义保证这样的函数是”不病态”的。其实很好理解: 我们花好大功夫规定了$\sigma$-代数,是为了方便我们积分,结果值域里一个开区间就找不到$\sigma$-代数里对应的一个$X$的合理的子集,那肯定是不合理的。至于闭集。闭集是开集的补集,严格地说,一个集合是开集当且仅当其补集为闭集。又考虑到$\sigma$-代数对补集和并集的封闭性,可测函数的合理性就更清楚了。

对于实函数,有一种很有用的判别方法:

如果$f(x)$的值域为$\mathbb{R}$,对于任意的$\alpha\in\mathbb{R}$都有${x\in{X}:f(x)>\alpha}\in\mathfrak{M}$,那么$f$为可测函数。

这也是一个最基本的限制条件。考虑到$\sigma$-代数的几条性质,不难对全体开区间进行分析。对于复函数,考虑$f=u+iv$。如果$u,v$都是可测函数,那么$f$是可测函数。

对于连续函数,如果$\mathfrak{M}$包含全体Borel集,那么连续函数可测。因为对于连续函数$f$,$f^{-1}(V)$一定为开集(可以从$\varepsilon-\delta$语言的角度考虑一下)。

特征函数、简单函数

如果$E$为可测集,定义函数
\[
\chi_E(x)=\begin{cases}1\quad{x\in{E}}\\
0\quad{x\notin{E}}\end{cases}
\]
那么$\chi_E(x)$是一个可测函数。对于离散集合,每个点都应该看成开集。$\chi$被称为特征函数。


简单函数是指值域只有有限个点的函数,也就是所谓”阶梯函数”,但是要注意这里的阶梯并不一定是单调的。Lebesgue积分就是用阶梯函数的积分逼近的。如果找出每个取值点的原象,那么一个简单函数可以写成特征函数的形式。也就是说,设简单函数$s$的取值为$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$,又令$A_i=\{x:s(x)=\alpha_i\}$,那么不难得到
\[
s=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\chi_{A_i}
\]
也不难发现,如果每个集合$A_i$都是可测集,那么$s$为可测函数。

任意可测函数都可以用简单函数逼近。也就是说,

设函数$f:X\to[0,+\infty]$为可测函数,存在定义在$X$上的可测简单函数$s_n(x)$使得

  1. $0\leq s_1\leq s_2\leq\cdots\leq f$.
  2. 对任意$x\in{X}$有$s_n(x)\to f(x)(n\to\infty)$.

如果$f$既有正值又有负值,那么可以讨论$f^{+}=\text{max}(f,0)$和$f^{-}=-\text{min}(f,0)$即可,这两部分分别逼近之后又可以通过$f=f^{+}-f^{-}$结合起来。

测度、测度空间

做完了被积函数的工作之后再回到集合的”大小”这个概念上。实际上概率论中某一事件的概率就 一种测度。只不过这一测度的值域是$[0,1]$,而一般的测度的值域是$[0,+\infty]$。概率是一个从集合到$[0,1]$的映射,另外还有一点我想大家都很熟悉。如果$A\cap{B}=\varnothing$,那么$P(A\cup{B})=P(A)+P(B)$。这其实是基于测度定义的一个推广,严格地说,

一个正测度是定义在一个$\sigma$-代数$\mathfrak{M}$上的函数$\mu$,其值域为$[0,+\infty]$,而且满足可列可加性。也就是说,对互不相交的集合列$\{A_k\}$,有 \[ \mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i) \]

对于$\mu$,假设至少有一个$A\in\mathfrak{M}$使得$\mu(A)<+\infty$。

和Riemann积分最接近的测度就是Lebesgue积分$m$。粗略地说,$m([a,b])=b-a$。这代表了Euclidean空间中点集的”体积”。如果是离散集合,设$\mu(E)$表示$E$中元素的个数,那么$\mu$也构成一个测度。但是一个集合是不是Lebesgue可测是一个比较复杂的问题。这在以后会解释。

一个测度空间指的是一个可测空间和一个定义在可测空间的$\sigma$-代数上的正测度。复测度是一个复值函数,定义域和正测度相同,而且满足可列可加性。

不难发现,$\mu(\varnothing)=0$,对于有限个互不相交的集合,可列可加性也是成立的(对于$n$个集合,将$n+1$个以后的集合看成空集即可)。

Lebesgue积分的构造

终于到了Lebesgue积分了。在进行之前先回顾一下我们做了什么工作。首先,考虑到积分是在集合的子集上(可以考虑$\mathbb{R}$的一些子集)下文章,我们找到了这个子集族需要满足的条件,也就是说,是一个$\sigma$-代数。为了测量一个集合的”大小”,我们定义了测度这个概念。这是”区间长度”的非常和谐的抽象推广。从一般的函数到所有可测的实函数、复函数,主要会通过下面三步进行。

简单函数

考虑非负可测简单函数(其他情况会另外考虑)$s=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\chi_{A_i}$。$s$为可测函数也就是说,对任意的$A_i$都有$A_i\in\mathfrak{M}$,这样的话$\mu(A_i)$就是存在的,否则运算没法进行,这也是函数可测性的意义体现。

回到博客开头,考虑面积,就需要考虑函数值($\alpha_i$)和区间长度。这里的抽象的”区间长度”变成了$\mu(A_i)$。如果积分的集合是$E\in\mathfrak{M}$,那么就有$A_i\cap{E}\in\mathfrak{M}$(因为$\mathfrak{M}$是$\pi$-系统!)。那么直接求和就行了:
\[
\int_{E}sd\mu = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\mu(A_i\cap{E})
\]

如果$\mu$表示的是实际的区间长度,那么这就是简单的面积求和; 如果$\mu$是一个概率测度,那么这就是计算了数学期望(随机变量是一个可测函数)。这里还有一个很有意思的例子:

如果$X$表示了你全部的课程,每门课用$A_i$表示,$\mu(A_i)$表示了这门课的学分,$\alpha_i$表示了这门课的绩点,那么这个Lebesgue积分再除以总学分就是你的GPA。

这里还需要定义$0*\infty=0$。可能有点别扭,但是这种情况还是要考虑的。比如有的时候$\alpha_i=0$(别考虑GPA了!)而$\mu(A_i\cap{E})=\infty$。这个定义也是有必要的。比如$f(x)=0$在$\mathbb{R}$上的积分应该是$0$而不是别的。

全体非负可测实函数

如果$f:X\to[0,+\infty]$为可测函数,那么对于$E\in\mathfrak{M}$定义
\[
\int_{E}fd\mu=\sup\int_{E}sd\mu
\]
其中上确界取遍所有$0\leq{s}\leq{f}$的可测简单函数。而我们已经知道,可测函数可以被简单函数逼近。所以这可以看成一个被简单函数逼近的过程。

全体复函数

最开始我们只讨论了非负实函数。其余两种情况,如果涉及到负数,可能计算上确界有点不合适; 对复数更不合适,因为复数没有大小。但是好在我们可以将这两种情况统一起来。设$f=u+iv$($v$可能恒等于$0$),那么就设
\[
\int_{E}fd\mu=\int_{E}u^+d\mu-\int_{E}u^-d\mu+i\left(\int_{E}v^+d\mu-\int_{E}v^-d\mu\right)
\]

总而言之,从计算矩形面积,变成计算抽象的集合测度和函数值的乘积,推广之后就得到了Lebesgue积分。以后会详细论证Riemann积分和Lebesgue积分的具体关系。Lebesgue积分虽然在计算上并不一定有很好的优势,但是在抽象论证过程中有了更多的可能性。以后也会讲到,Lebesgue积分在处理收敛问题时的便利之处,最开始的一个题也就很简单了。