高等数学入门：上下确界及其极限形式

问题的引入: 最大值、最小值的局限性

我们先考虑一个简单的函数:

$$f(x)=x\quad x\in(0,1)$$

那么问题来了: 这个函数有没有最小值或者最大值? 答案是没有. 定义域中的严格不等式给我们制造了无法得到严格解的麻烦. 可能读者会想到, 这是个单调函数, 可以使用极限解决这个问题. 但是这样做局限性太大了. 如果我们连函数的表达式都不知道, 又要到哪个极限找“最值”呢? 我们要做的是, 找到一个数, 它描述集合的范围时, 不依赖于最大值最小值的存在, 而且它不依赖于极限.

理论基础: 实数是有序的

我们一直以来接触各种不等式, 最基本的理论依据就是, 实数的顺序. 这个顺序的意思就是大小关系. 没有顺序关系的数也是有的, 例如复数. 实数的顺序其实可以叙述成以下两点:

1. 如果$x\in\mathbb{R}$而且$y\in\mathbb{R}$, 那么下面三个关系有且仅有一个成立 $$x<y\quad x=y\quad y<x$$
2. 如果$x,y,z\in\mathbb{R}$, 而且有$x<y$和$y<z$, 那么$x<z$

至于“$\leq$”，应该理解成小于或等于, “或”的意思在这里是并没有强调哪个一定成立.

确界的定义

我们接下来只讨论上界. 也就是说, 我们只讨论小于的情况. 至于另一侧, 将小于号换成大于号即可.

什么叫有上界

取集合$E\subset\mathbb{R}$, 如果存在$\beta\in\mathbb{R}$使得对任意$x\in{E}$都满足不等式$x\leq\beta$, 那么就称$E$有上界, $\beta$就是$E$的一个上界.

这其实就是一个存在命题. 只要满足就够了. 满足之后呢? 没有然后了. 剩下的细节在这里不重要. 这和极限很类似. 一个很简单的例子: $(-\infty,1]$就是有上界的. 而且任意的上界$\beta$都满足$\beta\in[1,+\infty)$.

上确界: 最小的上界

有的时候, 我们需要知道一个严格最小的上界, 这就是上确界. 首先, 我们给出上确界的定义.

对于有上界的集合$E$, 假设存在一个$\alpha\in\mathbb{R}$满足以下条件, 那么就称它为$E$的上确界, 记作$\alpha=\sup{E}$:

• $\alpha$是$E$的一个上界

• 如果$\gamma<\alpha$, 那么$\gamma$不是$E$的上界

下确界可以通过相反的不等式进行确定, 记作$\alpha=\inf{E}$. 当然$\sup$和$\inf$后面也不一定要跟一个集合, 也可以跟一个函数或者数列. 回到开头的那个函数, 我们能很容易得到

$$\sup{f(x)}=1\quad\inf{f(x)}=0$$

这时我们不再依赖于极限, 也可以发现, 如果函数的最大值或最小值存在, 那么它一定等于上确界或下确界, 但是上下确界存在时, 最值不一定存在. 在函数最值不存在时, 我们仍然能利用确界对函数的范围进行严格的分析, 而且不一定需要求极限, 这体现了上下确界的价值所在. 在这里建议读者写几个函数, 再试着求以下上下确界.

确界的极限形式(上极限、下极限)

数列形式

设$\{a_n\}$是$\mathbb{R}$里的一个数列, 并且定义

$$b_k=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\cdots\}$$

再定义

$$\beta=\inf\{b_1,b_2,b_3,\cdots\}$$

那么就有

$$\beta=\limsup_{n\to\infty}a_n$$

这就完成了上极限的定义. 而下极限的求法就是将上面的上确界、下确界交换顺序即可. 可是这里为什么出现了极限符号? 这是因为

$$b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\geq\beta$$

所以有

$$\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\beta$$

此外,$\{a_n\}$中有一个子列$\{a_{n_i}\}$收敛于$\beta$, 而且$\beta$是具有这个性质最大的数.

这其实还是解决了一件事情, 如果一个数列发散, 我们还是有可能利用上下确界的极限形式来研究极限的一些性质. 一个很简单的例子比如

$$\limsup_{n\to\infty}{(-1)^n}=1\quad\liminf_{n\to\infty}{(-1)^n}=-1$$

函数形式

函数中上下极限的求法其实和数列形式是非常类似的. 我们先举一个上极限的例子, 理解构建过程时也可以利用这个例子:

$$\limsup_{x\to{0}}\sin\frac{1}{x}=1$$

对于函数, 值域可能是连续集合. 求$x\to{a}$时的上极限, 我们先求出$x\to{a}$时, $f(x)$的上确界构成的集合

$$U=\{y|y=\sup\{f(x)|x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\}\}$$

那么上极限就是

$$\limsup_{x\to{a}}f(x)=\inf{U}$$

总结

我们单纯利用不等式, 建立起一个非常严格，也非常有应用价值的概念: 确界. 这个概念源于最值, 又高于最值. 当然确界和最值什么时候相等又是一个拓扑学问题. 这又是另外一个话题了.