线性变换不变子空间的导子及其性质

January 28, 2020
线性代数/Linear Algebra 多项式/Polynomial

问题的引入

在研究循环子空间的时候, 我们是从线性变换出发, 对一个指定的向量进行反复作用, 这恰好和多项式吻合. 这是从线性变换和唯一指定向量的角度出发的. 但是有的时候不能从向量出发, 因为选取一个合适的向量不总是可行的, 我们也不一定需要研究全体多项式. 可能更需要研究一个特定的多项式. 这就要求我们在另一个角度刻画不变子空间.

循环空间是某个线性变换的最小不变子空间. 那么可不可以研究某个子空间、某个指定线性变换的保证线性空间不变性的多项式?

设$W\subset{V}$为$V$的子空间, 如果对任意$\alpha\in{W}$都有$\mathscr{A}\alpha\in{W}$, 那么$W$就是$\mathscr{A}$的不变子空间. 设多项式$g(\lambda)=\lambda$, 那么就有$g(\mathscr{A})\alpha\in{W}$. 如果$g(\lambda)$更复杂一些会怎样? 有没有什么特殊的例子和性质? 对于所有$\alpha\in{V}$又是怎样? 这就是这篇博客要关注的问题. 线性空间的循环分解也要用到这一个工具.

导子多项式(Conductor)

设$V$是定义在数域$\mathbb{F}$上的有限维线性空间, 定义线性变换$\mathscr{A}:V\to{V}$, 设$W$为$\mathscr{A}$的线性子空间. 取$\textbf{v}\in{V}$. 那么将$\textbf{v}$映入$W$的导子多项式$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$是指满足$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的次数最小的首项系数为$1$的多项式(首一多项式, monic polynomial); 多项式$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$是指将全体$\textbf{v}\in{V}$都有$P(\mathscr{A})\in{W}$的次数最小的首项系数为$1$的多项式.

分别记所有满足$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的全体多项式为$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$和$I(W,\mathscr{A})$, 称为引导多项式. 这里$I$的意思是Ideal. 因为这是$\mathbb{F}[\lambda]$的一个理想.

这可以看作最小多项式的推广. 实际上, 对于指定向量和全体向量空间的多项式, 只需要将定义中的$W$换成$\{\textbf{0}\}$即可, 记为$P_{\text{min }\mathscr{A},\textbf{v}}$和$P_{\text{min }\mathscr{A}}$.

另外可以考虑$V=\mathbb{R}^3$中的一个例子. 设$W=\mathbb{R}^2$, 定义矩阵 [ A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&0 \end{pmatrix} ] 和线性变换$\mathscr{A}:x\mapsto{Ax}$. 那么显然$W$是$\mathscr{A}$的不变子空间, 且$P(\lambda)=\lambda=P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$. 它将$V$中全体向量都映入$W$. 自然它也是$(0,0,1)^T$的引导多项式.

如果$W\neq{V}$, 对于$\textbf{v}\in{V-W}$, 到底需要怎样的”代价”才能利用$\mathscr{A}$将$\textbf{v}$“导入”$W$? 这”代价”就是导子.

两种导子多项式的存在性、唯一性

好在这两种多项式是稳定存在的, 这也为我们探讨后面的性质做了保证.

首先是$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$的存在性. 和循环子空间的零化子类似, 通过讨论维数和线性无关性解决. 假设导子不存在, 设$\textbf{v}\in{V-W}$. 则有$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})=\varnothing$. 设$V$的维度为$n$, 那么向量$\textbf{v},\mathscr{A}\textbf{v},\cdots,\mathscr{A}^n\textbf{v}$必定线性相关. 也就是说有 [ \sum_{k=0}^{n}c_k\mathscr{A}^k\textbf{v}=\textbf{0}\in{W} ] 其中$c_k\in\mathbb{F}$不全为$0$. 那么$P(\lambda)=\sum_{k=0}^{n}c_k\lambda^k$就是一个非$0$多项式使得$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$的多项式. 这和假设矛盾. 存在性得到证明.

对线性空间的导子而言, 考虑$V$的一组基$\{\textbf{e}_i\}(i=1,\cdots,n)$. 那么只需要考虑 [ P(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{e}_i}(\lambda) ]

不妨验证一下, 对任意$\textbf{v}\in{V}$, 都有$P(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$. 因此$I(W,\mathscr{A})\neq\varnothing$.


两种导子的唯一性讨论是类似的. 设有最高次数相同的首一多项式$P(\lambda),Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$, 那么$(P-Q)(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W}$. 而$P-Q$的次数更低, 除以第一项次数又变成了首一多项式. 因此唯一性得到了保证. $I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$也可以类似进行讨论.

导子的性质

这一节中$V,W,\mathscr{A},\textbf{v}$的定义和上一节相同.

定理0: 对任意$Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$, 都有 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)| Q(\lambda). ] 类似结果在$I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$中也成立.

这说明, 导子是对应引导多项式的最小公因式. 这个结论看上去是显然的, 证明也是很简单的. 假设 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda) \nmid Q(\lambda). ]

那么有非零多项式$R(\lambda)$使得

[ Q(\lambda)=S(\lambda)P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)+R(\lambda) ] 其中$R(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$, 且最高次数小于$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$. 然而$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$的次数是最低的. 这得到了一个矛盾. $I(W,\mathscr{A},\textbf{v})$和$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)$也用相同的办法进行证明.


定理1:存在向量$\textbf{v}\in{V}$使得 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)=P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda) ]

这个结论将两种导子充分地联系起来. 显然有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A},\textbf{v})}$, 但是反过来又是怎样? 这就需要证明这个结论. 这个结论看似复杂, 但是从多项式的性质, 就很平凡了. 这个定理的证明可以划分成证明这两个引理:

引理1: 设两多项式满足$\text{gcd}(P(\lambda),Q(\lambda))=1$, 对于向量$\textbf{u},\textbf{v}\in{V}$, 有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u}}(\lambda)=P(\lambda)$和 $P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)=Q(\lambda)$, 那么 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)=P(\lambda)Q(\lambda) ]

这可以看成导子多项式关于生成向量的加法和多项式乘法的统一. 还可以注意到, $P$和$Q$的互素也对应了$\textbf{u}$和$\textbf{v}$的线性无关性.

首先有 [ P(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})(\textbf{u+v})=Q(\mathscr{A})P(\mathscr{A})\textbf{u}+P(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})\textbf{v}\in{W} ]

根据定理0, 一定有 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)|P(\lambda)Q(\lambda) ] 此时就有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)R(\lambda)=P(\lambda)Q(\lambda)$. 现在需要证明, $R(\lambda)=1$.

不失一般性, 不妨设$S(\lambda)=\frac{P(\lambda)}{R(\lambda)}$. 那么经过简单的运算就有$P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\lambda)=S(\lambda)Q(\lambda)$. 现在假设$\text{deg}R>0$, 那么$\text{deg}S<\text{deg}P$. 那么不难得到$Q(\mathscr{A})S(\mathscr{A})\textbf{u}\notin{W}$和$S(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})\textbf{u}\in{W}$同时成立. 但是 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{u+v}}(\mathscr{A})(\textbf{u}+\textbf{v})=S(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})\textbf{v}+Q(\mathscr{A})S(\mathscr{A})\textbf{u}\in{W} ] 这得到了矛盾. 因此$R=1$. 引理1得证.


引理2: 设$P(\lambda)$是一个在$\mathbb{F}$上不可约的多项式, 设有正整数$m$使得$(P(\lambda))^m|P_{\text{cond }W,\mathscr{A}(\lambda)}$, 那么存在$\textbf{v}\in{V}$使得$P_{\text{cond },W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda)=(P(\lambda))^m$

由条件可以设 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)=(P(\lambda))^mQ(\lambda) ]

注意到一定存在$\textbf{v}_0$使得 [ (P(\mathscr{A}))^{m-1}Q(\mathscr{A})\textbf{v}_0\notin{W} ]

否则, 有$(P(\lambda))^{m-1}Q(\lambda)\in{I(W,\mathscr{A})}$, 而次数低于$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$. 已知$P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)$是$I(W,\mathscr{A})$里次数最低的, 所以这得到了矛盾.

另一方面, $(P(\mathscr{A}))^mQ(\mathscr{A})\textbf{v}_0=P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\mathscr{A})\in{W}$. 令$\textbf{u}=Q(\mathscr{A})\textbf{v}_0$, 那么就有 [ (P(\mathscr{A}))^m\textbf{u}\in{W} ]

已经验证, 这里的$m$不能再低, 同时也不难验证$P^m$为首一多项式. 所以有 [ P_{\text{cond },W,\mathscr{A},\textbf{u}}(\lambda)=(P(\lambda))^m ]

引理2得证


最后来考虑定理1. 首先, 域$\mathbb{F}$上任意非常数多项式$f$都可以唯一分解为不可约因子, 即 [ f=\prod_{i=1}^{m}p_i ]

其中$p_i$是不可约的, 且这种乘积是唯一的(不考虑常数项和次序).

那么$P_{\text{cond },W,\mathscr{A}}(\lambda)$就可以进行分解(如果导子是常数, 结论是显然的), 合并相同因子之后有 [ P_{\text{cond },W,\mathscr{A}}(\lambda)=(P_1(\lambda))^{r_1}(P_2(\lambda))^{r_2}\cdots(P_n(\lambda))^{r_n} ]

那么根据引理2就有$\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\cdots,\textbf{v}_n\in{V}$使得 [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}_i}(\lambda) ]

又根据引理1, 令$\textbf{v}_1+\textbf{v}_2+\cdots+\textbf{v}_n=\textbf{v}$, [ P_{\text{cond }W,\mathscr{A}}(\lambda)=P_{\text{cond }W,\mathscr{A},\textbf{v}}(\lambda) ]

得证.


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