Riesz表示定理证明(二)

December 9, 2019
实分析/Real Analysis 泛函分析/Functional Analysis

前情回顾

在证明一中, 我们花很大功夫对$\mu$和$\mathfrak{M}_F$进行了粗略的估计. 但是到头来似乎只证明了一个(b), 连$\mathfrak{M}$都没见到, 有点让人摸不着头脑. 在这一篇证明里, $\mu$和$\mathfrak{M}_F$的性质会被进一步细化, 证明一里的结论也会用上. 而这一切都是给证明$\mathfrak{M}$是一个$\sigma$-代数, $\mu$是一个测度做准备. 这一篇中出现的$\sup$和$\inf$与含有$\varepsilon$的不等式的转换和证明一中大同小异, 完全可以用类似的办法进行验证.


证明的第二部分

第四步: 设$E_1,E_2,\cdots$是$\mathfrak{M}_F$中两两不相交的元素集合, 令$E=\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$, 那么有 [\mu(E)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(E_i)] 此外, 如果$\mu(E)<\infty$, 那么$E\in\mathfrak{M}_F$.

这实际上就是$\mu$作为一个测度最重要的一个性质: 可列可加性. 当然证明的结论也是会在接下来反复用到的.

和第一步类似, 首先需要证明, 对于不相交的紧集$K_1$和$K_2$, 有 [ \mu(K_1\cup K_2)=\mu(K_1)+\mu(K_2) ] 第一步里已经证明了$\mu(K_1\cup K_2)\leq\mu(K_1)+\mu(K_2)$, 所以在这里只需要证明这个不等式成立: [ \mu(K_1)+\mu(K_2)\leq\mu(K_1\cup K_2) ] 第二步中我们证明了, 对于紧集$K$和任意$\varepsilon>0$, 存在开集$V\supset K$满足$\mu(V)<\mu(K)+\varepsilon$. 又根据Urysohn引理, 存在函数$g$满足$K\prec f\prec V$, 且有

[\Lambda{g}\leq\mu(V)<\mu(K)+\varepsilon].

在这一步里, 令$K=K_1\cup K_2$就有

[K_1\cup K_2\prec g, \Lambda{g}<\mu(K_1\cup K_2)+\varepsilon]

根据Urysohn引理, 存在函数$f\in C_c(X)$, 使得$f(K_1)=1$, $f(K_2)=0$. 这个时候就有$K_1\prec fg$, $K_2\prec(1-f)g$. 这个关系式可以直接根据$\prec$的定义直接得到. 又注意到, $\Lambda$是线性的, 那么就有

[\mu(K_1)+\mu(K_2)\leq\Lambda(fg)+\Lambda(1-f)g=\Lambda(g)<\mu(K_1\cup K_2)+\varepsilon.]

这就得到了我们想要的不等式了. 关于$f$的存在性我会单独放在一篇博客里. 实际上, 这个问题的证明虽然很平凡, 但是也是一个非常不错的拓扑学练习, 需要对紧集性质进行反复运用. 我会尝试从头到尾对这个命题细致地分析, 但就不在这里浪费时间了.

接下来需要推广到可数个. $\mu(E)=\infty$的情况在第一步中已经讨论过了, 也不是这一步需要关注的重点. 因此接下来只需要讨论$\mu(E)<\infty$的情况. 对任意$\varepsilon>0$和$E_i\in\mathfrak{M}_F$, 存在紧集$H_i\subset E$满足

[\mu(H_i)>\mu(E_i)-\frac{\varepsilon}{2^i}.]

令$K_n=\bigcup_{i=1}^{n}H_i$, 那么考虑到$H_i$为紧集, 且为有限个, 利用这一步中对两个紧集的情形进行归纳, 那么就有

[\mu(E)\geq\mu(K_n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(H_i)>\sum_{i=1}^{n}\mu(E_i)-\sum_{i=1}^{n}\frac{\varepsilon}{2^i}>\sum_{i=1}^{n}\mu(E_i)-\varepsilon]

注意这里的$\mu(E)>\sum_{i=1}^{n}\mu(E_i)-\varepsilon$对所有的$n$和$\varepsilon$都成立, 所以有

[\mu(E)\geq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(E_i).]

根据第一步中得到的另一个相反的不等式, 就得到了这一步中所求的等式.

这一步还有一点没有完成: 如果$\mu(E)<\infty$, 需要证明$E\in\mathfrak{M}_F$. (我们甚至都没有证明$\mathfrak{M}_F$是一个$\sigma$-代数, 所以这个证明是不能省略的.)

对于$\varepsilon>0$, 存在$N$使得 [\mu(E)\leq\sum_{i=1}^{N}\mu(E_i)+\varepsilon.]

又已经知道, $\sum_{i=1}^{N}\mu(E_i)<\mu(K_N)+\varepsilon$, 合并之后就能得到 [\mu(E)\leq\mu(K_N)+2\varepsilon]

考虑到$K_N\subset E$, 得到的不等式刚好和$\mathfrak{M}_F$中元素的定义是一样的, 也就是说, [\mu(E)=\sup\{\mu(K_N):K_N\subset{E},K为紧集\}]

于是就得出了剩下的结论: $E\in\mathfrak{M}_F$.

第五步: 若$E\in\mathfrak{M}_F$, 那么对于$\varepsilon>0$, 存在开集$V$和紧集$K$使得$K\subset{E}\subset{V}$, 且$\mu(V-K)<\varepsilon$.

这一步很容易让人联想到”连续性”. 但这不是这里要关注的重点. 这一步会在后面的证明中作为一个有力的工具反复出现.

根据关于$\mu$, $\mathfrak{M}_F$的定义, 结合前面几步中的策略, 很容易得到, 对于$\varepsilon>0$, 存在开集$V$和紧集$K$, 满足$K\subset E\subset V$, 而且 [\mu(V)-\frac{\varepsilon}{2}<\mu(E)<\mu(K)+\frac{\varepsilon}{2}]

又因为$V-K$为开集, 根据第三步, 有$V-K\in\mathfrak{M}_F$. 另外根据第四步, 有 [\mu(K)+\mu(V-K)=\mu(V)]

这个等式成立是因为, 首先, $K\cap(V-K)=\varnothing$, 而且根据第二步, 因为$K$为紧集, 所以$K\in\mathfrak{M}_F$. 如果令$K=E_1$, $V-K=E_2$, $E_3=E_4=\cdots=\varnothing$, 考虑$K\cup V-K=V$即可. 又注意到, $\mu(V)-\frac{\varepsilon}{2}<\mu(K)+\frac{\varepsilon}{2}$, 移向之后就有 [\mu(V)<\mu(K)+\varepsilon.]

合并这几个不等式, 就有 [\mu(V-K)<\varepsilon] 第五步证明完毕

第六步: 如果$A,B\in\mathfrak{M}_F$, 那么$A\cap{B},A\cup{B},A-B\in\mathfrak{M}_F$

这里就是$\mathfrak{M}_F$中元素运算的封闭性了. 第三篇里会介绍$\mathfrak{M}$和$\mathfrak{M}_F$的关系, 这也会引出$\mathfrak{M}$中运算的封闭性.

首先, 根据第五步, 对于$A$和$B$和$\varepsilon>0$, 存在紧集$K_1$和$K_2$, 以及开集$V_1$和$V_2$, 使得$K_1\subset A\subset V_1$, $K_2\subset B\subset V_2$, 且成立$\mu(V_i-K_i)<\varepsilon$成立($i=1,2$). 又可以根据简单的集合运算发现, [A-B\subset V_1-K_2\subset(V_1-K_1)\cup(K_1-V_2)\cup(V_2-K_2)]

又考虑到第一步, 能得到 [\mu(A-B)\leq\varepsilon+\mu(K_1-V_2)+\varepsilon]

因为$K_1-V_2$是$A-B$的紧子集, 这说明, $\mu(A-B)$正好符合$\mathfrak{M}_F$的条件, 也就是说, $A-B\in\mathfrak{M}_F$.

解决了这个之后, 剩下两个运算结果可以转化成与集合减法相关的表达来解决.

对于$A\cap{B}$, 注意到$A\cap B = A-(A-B)$, 又考虑到$A,A-B\in\mathfrak{M}_F$, 所以就有$A\cap{B}\in\mathfrak{M}_F$. 而$A\cup{B}=(A-B)\cup{B}$, 这时就可以直接应用第四步, 得到$A\cup{B}\in\mathfrak{M}_F$.


关于最后一篇

至此$\mu$和$\mathfrak{M}_F$的细致性质已经浮现在眼前, 我们也有足够的能力揭开$\mathfrak{M}$的面纱了. 充分运用前面几步的工作, $\mathfrak{M}$是一个怎样的$\sigma$-代数, 它和$\mathfrak{M}_F$的关系, $\mu$和$\mathfrak{M}$的关系, 都会浮现出来. 到最后, 最开始提出的若干命题都会被得到证明.


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