概率论中需要知道的单调函数的性质

November 30, 2019
数学分析/Mathematical Analysis 概率论/Probability

概率论中的分布函数

分布函数$F$是指的这样的函数: 定义域为$\mathbb{R}$, 值域为$[0,1]$, 单调且右连续, 其中$F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$.

我想知道了正负无穷大之后, 这样的函数例子很好举出来. 但是仅仅局限在一些不一定具有绝对代表性的例子上是绝对不行的, 如果对分布函数一系列细致但普遍的性质没有充分的了解, 那么很容易把自己搞糊涂. 这篇博客里我会尝试整理一遍这些性质. 目标是这样的: 如果是刚开始学, 可以通过这篇博客搭建起微积分到概率论的桥梁; 如果已经学习了一些概率论, 但是有一些关于分布函数的内容不是很清楚, 可以利用这里讲到的性质作为方向帮助自己理解.

单调性

如果在$f$的值域上, 对任意的$x<y$有$f(x)\leq f(y)$成立, 那么就称这个函数$f$为单调递增函数.

函数单调性我们从高一就开始学习, 但是很多时候都在研究一些具体的实例. 不考虑细节的时候很好理解, 但是如果碰到一些间断点该怎么办? 碰到的间断点会是什么情况? 另一面, 如何更宏观地看待单调函数的连续性? 这些问题不经过细致的分析是得不到的.

单调性性质1: 单侧极限存在

对每个$x$, 两个单侧极限:

[\lim_{t\to x^{-}}f(t)=f(x-)和\lim_{t\to x^{+}}f(t)=f(x+)]

都存在且为有限值. 此外, $f(-\infty)$和$f(+\infty)$也存在, 尽管值可能是正负无穷.

考虑到$f(x)$的单调性, 再利用上下确界的性质, 就能得到$f(x-)=\sup\limits_{t<x}f(t)$. 另一侧的下确界也可以类似得到.

这个性质说明, 单调函数碰到单侧极限时, 不会碰到麻烦的无穷大. 就分布函数而言, 如果问题转化成了求单侧极限, 就完全不用考虑发散到无穷的情况. 就算碰到间断点, 相对而言也不是特别麻烦的. 这在接下来的性质里会解释.

单调性性质2: 关于间断点的个数

单调函数的间断点至多可数. 这时也可以说, 单调函数几乎处处连续

至多可数指的是, 可以和自然数集$\mathbb{N}$的一个子集建立一一映射(这个子集可以是$\mathbb{N}$本身).

下面会举几个间断点至多可数的例子. 首先, 考虑函数$y=\frac{1}{x}$. 这个函数只有一个间断点, 可以和集合${1}\subset\mathbb{N}$建立一一映射. 接下来, 考虑函数$y=\tan{x}$, 这个函数在$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$时间断, 这时不妨令$f(n)=\frac{\pi}{2}+(-1)^n[\frac{n}{2}]$, 其中$n\in\mathbb{N}$, $[x]$表示不超过$x$的最大整数. 这个时候就建立了一个和自然数的一一映射.

如果将这一点迁移到分布函数上, 那么, 至少在理论上, 间断点可以和自然数建立起联系, 又可以和一系列零测集联系起来, 为”几乎处处”提供了比较可靠的理论基础.

如果想证明这一点, 需要借助到下面一条性质.

单调性性质3: 关于间断点的类型

考虑到$f$的单调性, 对于定义域中的$x$, 一定有

[f(x-)\leq f(x)\leq f(x+)]

根据连续性的定义, 不难得到, $f$在$x$处连续当且仅当两个等号都成立. 性质1还说明, 间断点类型是唯一的. 按照传统的说法, 单调函数的间断点都是第一类间断点(不妨回忆一下, 有哪些类型的间断点?). 这类间断点也有一个形象的名称: 跳跃间断点. 不妨称$f(x+)-f(x-)$为这个函数的跃幅.

接下来, 就可以分析一下为什么单调函数几乎处处连续了. 如果函数的间断点为有限个, 那么就已经几乎处处连续了. 对于另一种情况, 假设$f$在$x$处间断, 那么$f(x-)<f(x+)$. 对于每一个间断点, 都可以有一个有理数r(x)和它对应, 使得$f(x-)<r(x)<f(x+)$. 可以验证, $x$到$r(x)$是一一映射的. 而又因为有理数是可数的, 也就是说, 有理数可以和$\mathbb{N}$建立一一映射, 从而间断点$x$可以和$\mathbb{N}$建立一一映射.

在处理间断点的时候, 尽管可能会有很多复杂的问题需要处理, 但是取值范围这一点可以放心的, 因为一直会有很平凡的不等式成立.

单调性性质4: 关于右连续性

$\tilde{f}=\inf\limits_{x<t\in{D}}f(t)$ 单调递增且处处右连续.

右连续相比于左连续和连续, 在概率论中更加常见, 最直接的应用就是分布函数. 右连续性是很好理解的: 函数在某点正方向的极限和这个函数在这个点的值相同. 这里需要指明一点: 右连续是分布函数必然具备的性质, 至于这个函数是不是左连续, 可能很难证明, 但是右连续是可以直接证明的. 证明只涉及几个简单的不等式和对$\varepsilon-\delta$的简单应用, 在这里就不仔细展开了(不过读者如果没证明过可以试试, 也算是一个比较不错的极限证明练习).

如果有一个单调递增函数$f$, 那么我们立马就能通过求下确界”获得”一个右连续函数

单调性性质5: 几乎处处相等

如果两个增函数在$\mathbb{R}$的一个稠密子集上处处相等, 那么这两个函数在$\mathbb{R}$上几乎处处相等, 在间断点的跃幅也相等.

间断处的值可能不相等, 但这已经足够了. 这些间断点的影响是严格意义上的$0$. 可以这样理解: 如果有两个随机变量对应的分布函数是$F,G$几乎处处相等, 那么两个随机变量期望的差为$0$. 这也提供了不少方便(当然接下来的说法并不很严格): 除了少数极端情况, 很多想要的等式都是几乎处处成立的. 而那些极端情况就算考虑进去, 影响也是$0$.

至于稠密子集, 一个比较常用的例子就是$\mathbb{Q}$. 这时可以得到一个推论: 如果两个单调增函数$f_1$和$f_2$在$\mathbb{Q}$上处处相等, 那么这两个函数在$\mathbb{R}$上几乎处处相等.


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