压缩定理解决一致收敛的问题

October 4, 2019
数学分析/Mathematical Analysis

两个月前, 我为了收集点材料写博客, 整理了一下压缩映射的介绍和一个简单的应用. 压缩映射使得可以在不完全清楚数列最准确的递推公式的时候知道数列的极限. 当然它不仅仅可以用在最简单的数列中. 例如, 证明反函数存在时, 压缩映射的构建就是一个非常关键的环节. 还有一个例子就是今天要讲的: 函数的一致收敛. 接下来会分析一道如果不用压缩定理会比较难的微积分证明题. 但是在这之前, 我觉得有必要解释一下几个重要概念:

一致收敛

如果函数列$\{f_n\}$一致收敛于$f$, 那么对每个正实数$\varepsilon$, 都有一个正整数$N$使得$n\geq N$时, 有[|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon]

这也就是说, 收敛情况和$x$无关.

函数的距离

对区间$[a,b]$上的连续函数定义抽象的距离[d(f,g)=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|]

如果在平面直角坐标系上做出$f$和$g$的图像, 那么这个”距离”就是竖直方向差值最大的地方. 这个定义可能看去很荒谬, 但是确实满足了距离(又叫做度量)该具有的性质:

不仅如此, 还可以对一致收敛的定义进行优化(至少对于连续函数而言, 这是比较轻松的, 而且这篇文章里我们也仅仅是在探讨连续函数). 因为$f$和$g$都是连续函数, 所以$|f-g|$一定能在一个闭区间上取得最大值最小值. 所以只需要$|f_n(x)-f(x)|$的最小值足够小即可. 也就是说, 可以有如下定义

连续函数的一致收敛

如果连续函数构成的函数列$\{f_n\}$一致收敛于$f$, 那么对每个正实数$\varepsilon$, 都有一个正整数$N$使得$n\geq N$时, 有[d(f_n,f)\leq\varepsilon]

完备度量空间

如果一个定义了距离函数$d$的集合$X$, 也就是度量空间, 能使得柯西数列收敛于集合内的一点, 那么这个集合$X$是完备的.

这其实也隐含了一个逻辑关系: 收敛数列一定是柯西数列, 反之不然. 从数列收敛到柯西数列的证明是很简单的(只需要两个不等式), 但是反过来就不一样了. 但是反例还是可以举出来的. 全体实数$\mathbb{Q}$以$d(x,y)=|x-y|$构成的度量空间就不是完备的. 例如, 可以构建以下数列: [ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\cdots ]

这个数列收敛到$\pi$, 是一个无理数. 如果一个集合中的数列收敛, 那么这个极限应该也是这个集合内的. 这说明, 上面给出的集合并不收敛.

换句话说, 如果一个集合是完备的, 那么这个集合中的柯西数列能找到极限, 否则找不到. 因为连续函数一致收敛的极限函数也是连续函数, 所以在指定区间上的全体连续函数是完备的.

构建压缩映射的实例

对于绝大多数类型的数列而言, 压缩映射的构建就是在第$n$项和第$n-1$项做文章, 另外还要找到一个小于$1$的系数. 具体的做法就是复刻压缩映射的证明. 具体做法可以分为三步:

  1. 利用已知条件构建函数的映射(定义域和值域都为函数)
  2. 分析构建的函数的函数是不是一个压缩映射(需要考虑定义域的完备性)
  3. 求出极限(不过这不是这篇文章的任务了. 接下来这个题的极限函数可能需要用到很复杂的常微分方程)

实例:全国大学生数学竞赛第7届预赛第5题(数学类)

设$f(x)$是$[0,+\infty)$上的有界连续函数, $h(x)$是$[0,+\infty)$上的连续函数, 满足$\int_{0}^{+\infty}|h(t)|dt=a<1$. 构造函数列如下:$g_0(x)=f(x)$,[g_n(x)=f(x)+\int_{0}^{x}h(t)g_{n-1}(t)dt,\quad n = 1,2,\cdots]求证:$\{g_n(x)\}$收敛于一个连续函数.

可以看到, 相邻两项的关系、小于$1$的系数,这两个条件都具备了. 接下来, 如果能合理开发已知条件, 得到一个压缩映射, 那么就自然证明了一致收敛. 而每个$g_n(x)$都是连续函数, 所以一致收敛的函数也是连续函数, 这个问题也就解决了. 下面是完整的证明过程. 原题还要求求出这个极限函数, 但这里就不深入了.


定义线性变换 [ \begin{aligned} T: C([0,+\infty))&\to C([0,+\infty)) \\
g_{n-1}(x)&\mapsto g_n(x) \end{aligned} ]

相邻两项做差, 就有 [ \begin{aligned} |Tg_{n}(x)-Tg_{n-1}(x)|&=|g_{n+1}(x)-g_{n}(x)| \\
&=|\int_{0}^{x}h(t)(g_{n}(t)-g_{n-1}(t))dt| \\
&\leq\int_{0}^{x}|h(t)||g_{n}(t)-g_{n-1}(t)|dt \\
&=|g_{n}(\xi)-g_{n-1}(\xi)|\int_{0}^{x}|h(t)|dt \quad(0<\xi<x)\\
&\leq d(g_{n},g_{n-1})\int_{0}^{x}|h(t)|dt \\
&\leq a\cdot d(g_{n},g_{n-1}) \end{aligned} ]

可见, 这个函数映射$T$是一个压缩映射, 而且$C([0,+\infty))$是完备空间, 所以必定有唯一的函数$g$满足$Tg=g$, 这就是$Tg_{n-1}=g_{n}$的极限函数. 根据给出的一致收敛于函数距离的关系, $g_n$一致收敛于$g$. 而$g_n$每一项都是连续函数(由$g_0=f$保证), 所以$g$也是连续函数.


这个题的解决最难的部分在于做差之后的一系列不等式. 但是都是很平凡的办法. 如果你觉得很难理解, 可以在纸笔上写一下, 都是很自然的. 用到的技巧包括:

这道题的官方答案是这样的:

记$M=\sup|f(x)|$, 因而$|g_0(x)|\leq M$. 假设$|g_{n-1}(x)|\leq(1+a+\cdots+a^{n-1})M$(怎么从一个$1$想到一个等比数列的?), 对$n$进行归纳……

Come on. 给自己徒增难度是何苦呢?

压缩映射是一个很正规但是很优雅的技巧, 会出现在水平相对较高的选拔考试中. 这些问题可能并不是必须要用压缩映射, 但是压缩映射总是可以减少很多麻烦. 当然掌握这个技巧不是仅仅为了考试, 不然也不会有人用它证明反函数存在定理了.

另一个例子

设$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续, $K(x,t)$在$[a,b]\times[a,b]$上连续. 构造如下函数列:[f_0(x)=\varphi(x),f_n(x)=\varphi(x)+\lambda\int_{a}^{b}K(x,t)f_{n-1}(t)dt]证明: 当$|\lambda|$足够小时, 函数列$\{f_n\}$收敛于一个连续函数

这个题来自2016年浙江大学研究生入学考试数学分析第8题. 我想如果掌握了压缩映射, 这个题非常简单, 基本上也是在复刻上面的证明过程.


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