优美的Fourier级数(五): 逐点收敛下的Fejér定理

September 12, 2019
数学分析/Mathematical Analysis Fourier分析/Fourier Analysis 优美的Fourier级数

Fejér积分和Fourier级数的关系

在进行接下来的介绍之前, 为了防止产生不必要的疑惑, 我们先对一些基本概念进行重新梳理.

在上篇文章中的Fejér定理中出现的积分 [ K_nf(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)K_n(t)dt ] 就是所谓Fejér积分. 在证明Dini和Jordan判别法时用到的积分可以对应地叫做Dirichlet积分. 上一篇文章中也提到, Fejér积分是Dirichlet积分的算术平均值的极限, 那么能不能进一步直接得到和Fourier系数的关系? 答案是肯定的. 先从Dirichlet积分和Fourier级数的关系说起.

设$f$的Fourier级数的前$N$项和为$S_Nf(x)=\sum\limits_{-N}^{N}c_ne^{inx}$. 其中对$c_n$这一项有 [ c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt ] 将这一项代入$S_Nf(x)$, 就有 [ \begin{aligned} S_Nf(x)&=\sum_{-N}^{N}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\right)e^{inx} \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sum_{-N}^{N}e^{in(x-t)}dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_N(x-t)dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_N(t)dt \end{aligned} ]

而最后一项就是Dirichlet积分. 也就是说, 函数$f$的Dirichlet积分就是$f$的Fourier级数的前$N$项和. 我们又知道, Fejér积分是Dirichlet积分的算术平均值的极限, 那么就应该说, Fejér积分是Fourier级数的Cesàro和.

这里有必要引入Cesàro和的概念.

设$\sum a_n$的前$n$项和为$S_n$, 定义数列[\sigma_n=\frac{\sum_{i=1}^n S_i}{n}], 若$\sigma_n\to\sigma(n\to\infty)$, 则称级数$\sum a_n$在Cesàro意义下可求和, 并定义$\sigma$为级数$\sum a_n$的Cesàro和.

在上一篇文章中我们是从第$0$项开始计算的, 所以分母是$N+1$. 可以看到, $\sigma$是数列$a_n$的前$n$项和的算术平均值的极限. 这和Fejér积分与Fourier级数的关系是一样的.

这个求和方式初看起来很荒谬, 但是它的实际意义还是有的. 就Fourier级数而言, 可以构建一个”好核”.

逐点形式下的Fejér定理

如果以$2\pi$为周期的函数$f$在$[-\pi,\pi]$上可积, 并且在$x_0$处有左右极限$f(x_0^+)$和$f(x_0^-)$, 则$K_nf(x_0)$收敛于$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$

为方便理解, 我会先将需要用到的理论工具列在下面.

证明收敛, 实际上就是要证明, 对于任意的$\varepsilon>0$, 有$N>0$, 使得$n>N$时, 满足 [ |K_nf(x_0)-\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}|\leq\varepsilon ]

因为$K_n(x)$是偶函数, $K_Nf(x_0)$还可以写成 [ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2}K_n(t)dt ]

接下来利用定积分不等式和三角不等式, 能得到 [ \begin{aligned} |K_nf(x_0)-\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}|&=|\int_{0}^{\pi}\frac{h_1(t)+h_2(t)}{2}K_n(t)dt| \\
&\leq \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}|\frac{h_1(t)+h_2(t)}{2}K_n(t)|dt \\
&\leq \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt \end{aligned} ]

为表达方便, 令$h_1(t)=f(x_0+t)-f(x_0^+)$, $h_2(t)=f(x_0-t)-f(x_0^-)$. 接下来, 需要利用$f(x_0)$左右极限都存在这一结论. 对于给定的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得当$0\leq t\leq\delta$时, $|h_1(t)|<\frac{\varepsilon}{2}$和$|h_2(t)|<\frac{\varepsilon}{2}$同时成立. 这时就有 [ \begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\delta}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt&<\int_{0}^{\delta}\frac{\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}}{2}K_n(t)dt \\
&<\frac{\varepsilon}{2}\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{\delta}K_n(t)dt\right) \\
&<\frac{\varepsilon}{2}\text{(考虑Fejér核的归一化)} \end{aligned} ]

而分析$[\delta,\pi]$这一部分的积分, 需要利用两翼收敛的性质, 我们已经知道, 在$[\delta,\pi]$, 有 [ K_N(x)\leq\frac{1}{N+1}\cdot\frac{2}{1-\cos\delta} ]

这是一个与自变量无关的结果. 我们设$\frac{1}{2\pi}\int_{\delta}^{\pi}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}dt=I$, $\frac{2}{1-\cos\delta}=k$, 那么对于这个积分有 [ \frac{1}{2\pi}\int_{\delta}^{\pi}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt\leq\frac{Ik}{n+1} ]

对于给定的$\varepsilon>0$, 存在$N>0$, 使得$n>N$时, 满足$\frac{Ik}{N+1}<\frac{\varepsilon}{2}$.

综上, 对于给定的$\varepsilon>0$, 存在$N>0$使得$n>N$时, 满足不等式 [ \begin{aligned} |K_nf(x_0)-\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}|&\leq\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\delta}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt \\
&+\frac{1}{2\pi}\int_{\delta}^{\pi}\frac{|h_1(t)|+|h_2(t)|}{2}K_n(t)dt \\
&< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned} ]

至此, 我们利用列出的三个工具, 用严格的$\varepsilon-\delta$语言证明了这个收敛结论. 当然还要注意一点, 黎曼可积的函数的绝对值也一定是可积的.

Fejér定理的重要应用1: 证明Fourier级数的唯一性

如果两个函数的Fourier级数相等, 那么这两个函数是否相等? 答案是肯定的. 但是, Taylor级数不具有这个性质. 一个Taylor级数可能有无穷多个对应的函数(这在以后会解释). 但是利用Fejér定理, 可以对Fourier级数的唯一性进行证明.

设$f$为周期为$2\pi$的连续函数, 而且其Fourier级数均等于$0$: $c_0=c_1=\cdots=0$, 那么$f$必是恒等于$0$的常值函数.

如果证明了这个结论, 那么就证明了唯一性. 这是因为, 可以设两个函数$f$和$g$具有相同的Fourier级数. 那么两个函数Fourier级数系数差就是$0$. 如果这个定理成立, 那么$f-g=0$, 也就是说$f=g$. 而利用Fejér定理, 这个定理的证明是非常简单的.

证明: 如果$f$的Fourier级数每一项都等于$0$, 那么部分和函数列$\{S_n(x)\}$的每一项也恒等于$0$. 那么Cesàro和也就等于$0$. 由Fejér定理就知道,$f$必是恒等于$0$的常值函数.

Fejér定理的重要应用1: 证明Fourier级数的确定性

这么久以来对逐点收敛的证明都只有两种收敛结果: 收敛到$f(x_0)$或者收敛到$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$. 那么会不会有其他收敛情况? 答案是否定的.

设以$2\pi$为周期的函数$f$在$[-\pi,\pi]$上可积, 点$x_0$是$f(x)$的连续点或第一类间断点. 如果$f$的Fourier级数在$x_0$处收敛, 则它一定收敛于$f(x_0)$或$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$.

这个结论说明, 虽然Fourier级数收敛是一件很困难的事情, 但是如果收敛的话, 收敛的结果是确定的.

证明: 设$f$的Fourier级数在$x_0$收敛至$c$, 则其Cesàro和也收敛到$c$. 由Fejér定理可以知道, 有$c=f(x_0)$或$c=\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$. 证毕.

这期间也涉及到一个很重要的结论: 如果一个数列收敛, 那么这个数列的算术平均值也收敛, 且收敛到同一个值. 换句话说, 如果一个数列的级数收敛, 那么Cesàro和也收敛到同一值.

总结

这篇文章中, 利用Fejér积分的基本性质, 非常简洁地证明了Fourier级数的Cesàro和收敛情况. 并藉此给出两个重要结论: Fourier级数的确定性、唯一性. Fourier级数”忠心耿耿”. 只要收敛, 它就有着确定的结果. 这也是它比其他级数更”优美”的一个方面. 可以发现, 这篇文章里完全没有三角函数的影子. 没有利用三角函数的任何性质. 我们一直站在一个比较远的角度看待这个问题, 而不是局限在三角函数这一个小的范围内. 我觉得除了Fourier级数这些性质(不再仅仅是按照公式算展开式)以外, 更重要的是一些朴实、正规的分析证明方法.

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